Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30325 / 20683
↖ ↑ ↗
← N 55.144349°
W 13.419800°		 ← 349.07 m → N 55.144349°
W 13.414307°		 →
↑
349.13 m
↓
↑
349.13 m
↓
N 55.141210°
W 13.419800°		 ← 349.10 m →
121 877 m²		 N 55.141210°
W 13.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462730407714844 y=0.315605163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462730407714844 × 216)
    floor (0.462730407714844 × 65536)
    floor (30325.5)     		tx = 30325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315605163574219 × 216)
    floor (0.315605163574219 × 65536)
    floor (20683.5)     		ty = 20683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30325 / 20683 ti = "16/30325/20683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30325/20683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30325 ÷ 216
    30325 ÷ 65536     		x = 0.462722778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20683 ÷ 216
    20683 ÷ 65536     		y = 0.315597534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462722778320312 × 2 - 1) × π
    -0.074554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23421969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315597534179688 × 2 - 1) × π
    0.368804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15863486381676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23421969} λ = -0.23421969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15863486381676))-π/2
    2×atan(3.18558155380145)-π/2
    2×1.26662339183946-π/2
    2.53324678367892-1.57079632675     		φ = 0.96245046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23421969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.419800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96245046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.144349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30325 KachelY 20683 -0.23421969 0.96245046 -13.419800 55.144349
    Oben rechts KachelX + 1 30326 KachelY 20683 -0.23412382 0.96245046 -13.414307 55.144349
    Unten links KachelX 30325 KachelY + 1 20684 -0.23421969 0.96239566 -13.419800 55.141210
    Unten rechts KachelX + 1 30326 KachelY + 1 20684 -0.23412382 0.96239566 -13.414307 55.141210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96245046-0.96239566) × R
    5.48000000000215e-05 × 6371000     		dl = 349.130800000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96245046-0.96239566) × R
    5.48000000000215e-05 × 6371000     		dr = 349.130800000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23421969--0.23412382) × cos(0.96245046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57151086998857 × 6371000     		do = 349.071849811071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23421969--0.23412382) × cos(0.96239566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571555837708747 × 6371000     		du = 349.0993155446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96245046)-sin(0.96239566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57151086998857-0.571555837708747)×R²
    abs(-0.23412382--0.23421969)×4.4967720177258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4967720177258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4967720177258e-05×40589641000000     		ar = 121876.528779141m²