Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30324 / 28052
↖ ↑ ↗
← N 25.065697°
W 13.425293°		 ← 553.32 m → N 25.065697°
W 13.419800°		 →
↑
553.32 m
↓
↑
553.32 m
↓
N 25.060721°
W 13.425293°		 ← 553.35 m →
306 172 m²		 N 25.060721°
W 13.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462715148925781 y=0.428047180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462715148925781 × 216)
    floor (0.462715148925781 × 65536)
    floor (30324.5)     		tx = 30324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428047180175781 × 216)
    floor (0.428047180175781 × 65536)
    floor (28052.5)     		ty = 28052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30324 / 28052 ti = "16/30324/28052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30324/28052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30324 ÷ 216
    30324 ÷ 65536     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28052 ÷ 216
    28052 ÷ 65536     		y = 0.42803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42803955078125 × 2 - 1) × π
    0.1439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.45214083721637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45214083721637))-π/2
    2×atan(1.57167328308145)-π/2
    2×1.00413763598933-π/2
    2.00827527197867-1.57079632675     		φ = 0.43747895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43747895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.065697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30324 KachelY 28052 -0.23431557 0.43747895 -13.425293 25.065697
    Oben rechts KachelX + 1 30325 KachelY 28052 -0.23421969 0.43747895 -13.419800 25.065697
    Unten links KachelX 30324 KachelY + 1 28053 -0.23431557 0.43739210 -13.425293 25.060721
    Unten rechts KachelX + 1 30325 KachelY + 1 28053 -0.23421969 0.43739210 -13.419800 25.060721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43747895-0.43739210) × R
    8.68499999999717e-05 × 6371000     		dl = 553.32134999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43747895-0.43739210) × R
    8.68499999999717e-05 × 6371000     		dr = 553.32134999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23421969) × cos(0.43747895) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905822601610466 × 6371000     		do = 553.323076811161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23421969) × cos(0.43739210) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905859392821073 × 6371000     		du = 553.345550776611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43747895)-sin(0.43739210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905822601610466-0.905859392821073)×R²
    abs(-0.23421969--0.23431557)×3.67912106070678e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67912106070678e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67912106070678e-05×40589641000000     		ar = 306171.689702092m²