Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30324 / 20681
↖ ↑ ↗
← N 55.150627°
W 13.425293°		 ← 349.05 m → N 55.150627°
W 13.419800°		 →
↑
349 m
↓
↑
349 m
↓
N 55.147489°
W 13.425293°		 ← 349.08 m →
121 826 m²		 N 55.147489°
W 13.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462715148925781 y=0.315574645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462715148925781 × 216)
    floor (0.462715148925781 × 65536)
    floor (30324.5)     		tx = 30324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315574645996094 × 216)
    floor (0.315574645996094 × 65536)
    floor (20681.5)     		ty = 20681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30324 / 20681 ti = "16/30324/20681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30324/20681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30324 ÷ 216
    30324 ÷ 65536     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20681 ÷ 216
    20681 ÷ 65536     		y = 0.315567016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315567016601562 × 2 - 1) × π
    0.368865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15882661141524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15882661141524))-π/2
    2×atan(3.18619243998026)-π/2
    2×1.26667818044748-π/2
    2.53335636089497-1.57079632675     		φ = 0.96256003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96256003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.150627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30324 KachelY 20681 -0.23431557 0.96256003 -13.425293 55.150627
    Oben rechts KachelX + 1 30325 KachelY 20681 -0.23421969 0.96256003 -13.419800 55.150627
    Unten links KachelX 30324 KachelY + 1 20682 -0.23431557 0.96250525 -13.425293 55.147489
    Unten rechts KachelX + 1 30325 KachelY + 1 20682 -0.23421969 0.96250525 -13.419800 55.147489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96256003-0.96250525) × R
    5.4780000000032e-05 × 6371000     		dl = 349.003380000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96256003-0.96250525) × R
    5.4780000000032e-05 × 6371000     		dr = 349.003380000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23421969) × cos(0.96256003) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571420954019254 × 6371000     		do = 349.053335465646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23421969) × cos(0.96250525) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571465908758381 × 6371000     		du = 349.080796134575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96256003)-sin(0.96250525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571420954019254-0.571465908758381)×R²
    abs(-0.23421969--0.23431557)×4.49547391266902e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49547391266902e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49547391266902e-05×40589641000000     		ar = 121825.585841422m²