Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30324 / 16439
↖ ↑ ↗
← N 66.392561°
W 13.425293°		 ← 244.63 m → N 66.392561°
W 13.419800°		 →
↑
244.58 m
↓
↑
244.58 m
↓
N 66.390362°
W 13.425293°		 ← 244.65 m →
59 834 m²		 N 66.390362°
W 13.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462715148925781 y=0.250846862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462715148925781 × 216)
    floor (0.462715148925781 × 65536)
    floor (30324.5)     		tx = 30324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250846862792969 × 216)
    floor (0.250846862792969 × 65536)
    floor (16439.5)     		ty = 16439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30324 / 16439 ti = "16/30324/16439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30324/16439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30324 ÷ 216
    30324 ÷ 65536     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16439 ÷ 216
    16439 ÷ 65536     		y = 0.250839233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250839233398438 × 2 - 1) × π
    0.498321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56552326779179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56552326779179))-π/2
    2×atan(4.78517821053222)-π/2
    2×1.36478256066035-π/2
    2.72956512132071-1.57079632675     		φ = 1.15876879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15876879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.392561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30324 KachelY 16439 -0.23431557 1.15876879 -13.425293 66.392561
    Oben rechts KachelX + 1 30325 KachelY 16439 -0.23421969 1.15876879 -13.419800 66.392561
    Unten links KachelX 30324 KachelY + 1 16440 -0.23431557 1.15873040 -13.425293 66.390362
    Unten rechts KachelX + 1 30325 KachelY + 1 16440 -0.23421969 1.15873040 -13.419800 66.390362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15876879-1.15873040) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dl = 244.582690000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15876879-1.15873040) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dr = 244.582690000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23421969) × cos(1.15876879) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.400468003601664 × 6371000     		do = 244.626472692703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23421969) × cos(1.15873040) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.400503180475984 × 6371000     		du = 244.647960538443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15876879)-sin(1.15873040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400468003601664-0.400503180475984)×R²
    abs(-0.23421969--0.23431557)×3.51768743193093e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.51768743193093e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.51768743193093e-05×40589641000000     		ar = 59834.028521395m²