Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30323 / 20682
↖ ↑ ↗
← N 55.147489°
W 13.430786°		 ← 349.04 m → N 55.147489°
W 13.425293°		 →
↑
349.07 m
↓
↑
349.07 m
↓
N 55.144349°
W 13.430786°		 ← 349.07 m →
121 845 m²		 N 55.144349°
W 13.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462699890136719 y=0.315589904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462699890136719 × 216)
    floor (0.462699890136719 × 65536)
    floor (30323.5)     		tx = 30323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315589904785156 × 216)
    floor (0.315589904785156 × 65536)
    floor (20682.5)     		ty = 20682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30323 / 20682 ti = "16/30323/20682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30323/20682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30323 ÷ 216
    30323 ÷ 65536     		x = 0.462692260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20682 ÷ 216
    20682 ÷ 65536     		y = 0.315582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462692260742188 × 2 - 1) × π
    -0.074615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23441144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315582275390625 × 2 - 1) × π
    0.36883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.158730737616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23441144} λ = -0.23441144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.158730737616))-π/2
    2×atan(3.18588698224886)-π/2
    2×1.26665078722112-π/2
    2.53330157444224-1.57079632675     		φ = 0.96250525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23441144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.430786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96250525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.147489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30323 KachelY 20682 -0.23441144 0.96250525 -13.430786 55.147489
    Oben rechts KachelX + 1 30324 KachelY 20682 -0.23431557 0.96250525 -13.425293 55.147489
    Unten links KachelX 30323 KachelY + 1 20683 -0.23441144 0.96245046 -13.430786 55.144349
    Unten rechts KachelX + 1 30324 KachelY + 1 20683 -0.23431557 0.96245046 -13.425293 55.144349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96250525-0.96245046) × R
    5.47899999999713e-05 × 6371000     		dl = 349.067089999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96250525-0.96245046) × R
    5.47899999999713e-05 × 6371000     		dr = 349.067089999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23441144--0.23431557) × cos(0.96250525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571465908758381 × 6371000     		do = 349.044388041547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23441144--0.23431557) × cos(0.96245046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57151086998857 × 6371000     		du = 349.071849811071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96250525)-sin(0.96245046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571465908758381-0.57151086998857)×R²
    abs(-0.23431557--0.23441144)×4.49612301890445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49612301890445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49612301890445e-05×40589641000000     		ar = 121844.70184504m²