Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30322 / 16438
↖ ↑ ↗
← N 66.394761°
W 13.436279°		 ← 244.58 m → N 66.394761°
W 13.430786°		 →
↑
244.65 m
↓
↑
244.65 m
↓
N 66.392561°
W 13.436279°		 ← 244.60 m →
59 838 m²		 N 66.392561°
W 13.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462684631347656 y=0.250831604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462684631347656 × 216)
    floor (0.462684631347656 × 65536)
    floor (30322.5)     		tx = 30322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250831604003906 × 216)
    floor (0.250831604003906 × 65536)
    floor (16438.5)     		ty = 16438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30322 / 16438 ti = "16/30322/16438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30322/16438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30322 ÷ 216
    30322 ÷ 65536     		x = 0.462677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16438 ÷ 216
    16438 ÷ 65536     		y = 0.250823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.07464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23450731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250823974609375 × 2 - 1) × π
    0.49835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56561914159103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23450731} λ = -0.23450731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56561914159103))-π/2
    2×atan(4.78563700574017)-π/2
    2×1.36480175701143-π/2
    2.72960351402285-1.57079632675     		φ = 1.15880719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23450731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.436279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15880719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.394761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30322 KachelY 16438 -0.23450731 1.15880719 -13.436279 66.394761
    Oben rechts KachelX + 1 30323 KachelY 16438 -0.23441144 1.15880719 -13.430786 66.394761
    Unten links KachelX 30322 KachelY + 1 16439 -0.23450731 1.15876879 -13.436279 66.392561
    Unten rechts KachelX + 1 30323 KachelY + 1 16439 -0.23441144 1.15876879 -13.430786 66.392561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15880719-1.15876879) × R
    3.8399999999994e-05 × 6371000     		dl = 244.646399999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15880719-1.15876879) × R
    3.8399999999994e-05 × 6371000     		dr = 244.646399999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23450731--0.23441144) × cos(1.15880719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400432816973877 × 6371000     		do = 244.579467314287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23450731--0.23441144) × cos(1.15876879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400468003601664 × 6371000     		du = 244.600958876207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15880719)-sin(1.15876879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400432816973877-0.400468003601664)×R²
    abs(-0.23441144--0.23450731)×3.51866277870094e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51866277870094e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51866277870094e-05×40589641000000     		ar = 59838.1151159745m²