Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30321 / 20293
↖ ↑ ↗
← N 56.350034°
W 13.441773°		 ← 338.48 m → N 56.350034°
W 13.436279°		 →
↑
338.43 m
↓
↑
338.43 m
↓
N 56.346990°
W 13.441773°		 ← 338.51 m →
114 557 m²		 N 56.346990°
W 13.436279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462669372558594 y=0.309654235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462669372558594 × 216)
    floor (0.462669372558594 × 65536)
    floor (30321.5)     		tx = 30321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309654235839844 × 216)
    floor (0.309654235839844 × 65536)
    floor (20293.5)     		ty = 20293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30321 / 20293 ti = "16/30321/20293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30321/20293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30321 ÷ 216
    30321 ÷ 65536     		x = 0.462661743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20293 ÷ 216
    20293 ÷ 65536     		y = 0.309646606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462661743164062 × 2 - 1) × π
    -0.074676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23460319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309646606445312 × 2 - 1) × π
    0.380706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1960256455204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23460319} λ = -0.23460319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1960256455204))-π/2
    2×atan(3.30694778791128)-π/2
    2×1.27714497575992-π/2
    2.55428995151983-1.57079632675     		φ = 0.98349362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23460319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.441773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98349362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.350034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30321 KachelY 20293 -0.23460319 0.98349362 -13.441773 56.350034
    Oben rechts KachelX + 1 30322 KachelY 20293 -0.23450731 0.98349362 -13.436279 56.350034
    Unten links KachelX 30321 KachelY + 1 20294 -0.23460319 0.98344050 -13.441773 56.346990
    Unten rechts KachelX + 1 30322 KachelY + 1 20294 -0.23450731 0.98344050 -13.436279 56.346990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98349362-0.98344050) × R
    5.31199999999066e-05 × 6371000     		dl = 338.427519999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98349362-0.98344050) × R
    5.31199999999066e-05 × 6371000     		dr = 338.427519999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23460319--0.23450731) × cos(0.98349362) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554117711112252 × 6371000     		do = 338.483623927106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23460319--0.23450731) × cos(0.98344050) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554161929454183 × 6371000     		du = 338.510634766717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98349362)-sin(0.98344050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554117711112252-0.554161929454183)×R²
    abs(-0.23450731--0.23460319)×4.42183419305797e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42183419305797e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42183419305797e-05×40589641000000     		ar = 114556.744038415m²