Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30320 / 28079
↖ ↑ ↗
← N 24.931276°
W 13.447266°		 ← 553.87 m → N 24.931276°
W 13.441773°		 →
↑
553.96 m
↓
↑
553.96 m
↓
N 24.926295°
W 13.447266°		 ← 553.89 m →
306 828 m²		 N 24.926295°
W 13.441773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462654113769531 y=0.428459167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462654113769531 × 216)
    floor (0.462654113769531 × 65536)
    floor (30320.5)     		tx = 30320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428459167480469 × 216)
    floor (0.428459167480469 × 65536)
    floor (28079.5)     		ty = 28079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30320 / 28079 ti = "16/30320/28079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30320/28079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30320 ÷ 216
    30320 ÷ 65536     		x = 0.462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28079 ÷ 216
    28079 ÷ 65536     		y = 0.428451538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428451538085938 × 2 - 1) × π
    0.143096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.449552244636887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23469906} λ = -0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449552244636887))-π/2
    2×atan(1.56761012248605)-π/2
    2×1.00296459112206-π/2
    2.00592918224413-1.57079632675     		φ = 0.43513286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43513286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.931276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30320 KachelY 28079 -0.23469906 0.43513286 -13.447266 24.931276
    Oben rechts KachelX + 1 30321 KachelY 28079 -0.23460319 0.43513286 -13.441773 24.931276
    Unten links KachelX 30320 KachelY + 1 28080 -0.23469906 0.43504591 -13.447266 24.926295
    Unten rechts KachelX + 1 30321 KachelY + 1 28080 -0.23460319 0.43504591 -13.441773 24.926295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43513286-0.43504591) × R
    8.69500000000301e-05 × 6371000     		dl = 553.958450000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43513286-0.43504591) × R
    8.69500000000301e-05 × 6371000     		dr = 553.958450000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23469906--0.23460319) × cos(0.43513286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906814045709641 × 6371000     		do = 553.870928783657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23469906--0.23460319) × cos(0.43504591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906850694392099 × 6371000     		du = 553.893313350689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43513286)-sin(0.43504591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906814045709641-0.906850694392099)×R²
    abs(-0.23460319--0.23469906)×3.66486824582291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66486824582291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66486824582291e-05×40589641000000     		ar = 306827.681462513m²