Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3032 / 3512
↖ ↑ ↗
← N 24.846565°
W 46.757813°		 ← 4 434.18 m → N 24.846565°
W 46.713867°		 →
↑
4 434.85 m
↓
↑
4 434.85 m
↓
N 24.806682°
W 46.757813°		 ← 4 435.61 m →
19 668 110 m²		 N 24.806682°
W 46.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37017822265625 y=0.42877197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37017822265625 × 213)
    floor (0.37017822265625 × 8192)
    floor (3032.5)     		tx = 3032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42877197265625 × 213)
    floor (0.42877197265625 × 8192)
    floor (3512.5)     		ty = 3512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3032 / 3512 ti = "13/3032/3512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3032/3512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3032 ÷ 213
    3032 ÷ 8192     		x = 0.3701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3512 ÷ 213
    3512 ÷ 8192     		y = 0.4287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3701171875 × 2 - 1) × π
    -0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81607778} λ = -0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447922390049805))-π/2
    2×atan(1.56505722692656)-π/2
    2×1.00222534996082-π/2
    2.00445069992164-1.57079632675     		φ = 0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3032 KachelY 3512 -0.81607778 0.43365437 -46.757813 24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 3033 KachelY 3512 -0.81531079 0.43365437 -46.713867 24.846565
    Unten links KachelX 3032 KachelY + 1 3513 -0.81607778 0.43295827 -46.757813 24.806682
    Unten rechts KachelX + 1 3033 KachelY + 1 3513 -0.81531079 0.43295827 -46.713867 24.806682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43365437-0.43295827) × R
    0.000696100000000033 × 6371000     		dl = 4434.85310000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43365437-0.43295827) × R
    0.000696100000000033 × 6371000     		dr = 4434.85310000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81607778--0.81531079) × cos(0.43365437) × R
    0.000766990000000023 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 4434.18131073236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81607778--0.81531079) × cos(0.43295827) × R
    0.000766990000000023 × 0.907728557743918 × 6371000     		du = 4435.60950655717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43365437)-sin(0.43295827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.907728557743918)×R²
    abs(-0.81531079--0.81607778)×0.000292274181104335×R²
    0.000766990000000023×0.000292274181104335×6371000²
    0.000766990000000023×0.000292274181104335×40589641000000     		ar = 19668110.4453956m²