Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30319 / 16818
↖ ↑ ↗
← N 65.544819°
W 13.452759°		 ← 252.85 m → N 65.544819°
W 13.447266°		 →
↑
252.86 m
↓
↑
252.86 m
↓
N 65.542545°
W 13.452759°		 ← 252.88 m →
63 941 m²		 N 65.542545°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462638854980469 y=0.256629943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462638854980469 × 216)
    floor (0.462638854980469 × 65536)
    floor (30319.5)     		tx = 30319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256629943847656 × 216)
    floor (0.256629943847656 × 65536)
    floor (16818.5)     		ty = 16818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30319 / 16818 ti = "16/30319/16818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30319/16818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30319 ÷ 216
    30319 ÷ 65536     		x = 0.462631225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16818 ÷ 216
    16818 ÷ 65536     		y = 0.256622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462631225585938 × 2 - 1) × π
    -0.074737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23479493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256622314453125 × 2 - 1) × π
    0.48675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52918709787979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23479493} λ = -0.23479493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52918709787979))-π/2
    2×atan(4.61442422202444)-π/2
    2×1.35738461254349-π/2
    2.71476922508699-1.57079632675     		φ = 1.14397290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23479493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.452759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14397290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.544819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30319 KachelY 16818 -0.23479493 1.14397290 -13.452759 65.544819
    Oben rechts KachelX + 1 30320 KachelY 16818 -0.23469906 1.14397290 -13.447266 65.544819
    Unten links KachelX 30319 KachelY + 1 16819 -0.23479493 1.14393321 -13.452759 65.542545
    Unten rechts KachelX + 1 30320 KachelY + 1 16819 -0.23469906 1.14393321 -13.447266 65.542545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14397290-1.14393321) × R
    3.96900000001477e-05 × 6371000     		dl = 252.864990000941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14397290-1.14393321) × R
    3.96900000001477e-05 × 6371000     		dr = 252.864990000941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23479493--0.23469906) × cos(1.14397290) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.413981307800267 × 6371000     		do = 252.854719813076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23479493--0.23469906) × cos(1.14393321) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.414017436701 × 6371000     		du = 252.876786903788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14397290)-sin(1.14393321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413981307800267-0.414017436701)×R²
    abs(-0.23469906--0.23479493)×3.61289007330123e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.61289007330123e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.61289007330123e-05×40589641000000     		ar = 63940.8962027753m²