Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30318 / 20633
↖ ↑ ↗
← N 55.301011°
W 13.458252°		 ← 347.74 m → N 55.301011°
W 13.452759°		 →
↑
347.73 m
↓
↑
347.73 m
↓
N 55.297884°
W 13.458252°		 ← 347.76 m →
120 923 m²		 N 55.297884°
W 13.452759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462623596191406 y=0.314842224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462623596191406 × 216)
    floor (0.462623596191406 × 65536)
    floor (30318.5)     		tx = 30318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314842224121094 × 216)
    floor (0.314842224121094 × 65536)
    floor (20633.5)     		ty = 20633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30318 / 20633 ti = "16/30318/20633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30318/20633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30318 ÷ 216
    30318 ÷ 65536     		x = 0.462615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20633 ÷ 216
    20633 ÷ 65536     		y = 0.314834594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.07476806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23489081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314834594726562 × 2 - 1) × π
    0.370330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16342855377876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23489081} λ = -0.23489081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16342855377876))-π/2
    2×atan(3.20088890415203)-π/2
    2×1.26799052241042-π/2
    2.53598104482085-1.57079632675     		φ = 0.96518472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23489081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96518472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.301011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30318 KachelY 20633 -0.23489081 0.96518472 -13.458252 55.301011
    Oben rechts KachelX + 1 30319 KachelY 20633 -0.23479493 0.96518472 -13.452759 55.301011
    Unten links KachelX 30318 KachelY + 1 20634 -0.23489081 0.96513014 -13.458252 55.297884
    Unten rechts KachelX + 1 30319 KachelY + 1 20634 -0.23479493 0.96513014 -13.452759 55.297884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96518472-0.96513014) × R
    5.45800000000263e-05 × 6371000     		dl = 347.729180000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96518472-0.96513014) × R
    5.45800000000263e-05 × 6371000     		dr = 347.729180000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23489081--0.23479493) × cos(0.96518472) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569265017722882 × 6371000     		do = 347.736378588222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23489081--0.23479493) × cos(0.96513014) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56930989004491 × 6371000     		du = 347.763788912544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96518472)-sin(0.96513014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569265017722882-0.56930989004491)×R²
    abs(-0.23479493--0.23489081)×4.48723220273228e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48723220273228e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48723220273228e-05×40589641000000     		ar = 120922.851497328m²