Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30318 / 20015
↖ ↑ ↗
← N 57.186879°
W 13.458252°		 ← 331.02 m → N 57.186879°
W 13.452759°		 →
↑
330.97 m
↓
↑
330.97 m
↓
N 57.183902°
W 13.458252°		 ← 331.05 m →
109 564 m²		 N 57.183902°
W 13.452759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462623596191406 y=0.305412292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462623596191406 × 216)
    floor (0.462623596191406 × 65536)
    floor (30318.5)     		tx = 30318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305412292480469 × 216)
    floor (0.305412292480469 × 65536)
    floor (20015.5)     		ty = 20015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30318 / 20015 ti = "16/30318/20015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30318/20015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30318 ÷ 216
    30318 ÷ 65536     		x = 0.462615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20015 ÷ 216
    20015 ÷ 65536     		y = 0.305404663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.07476806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23489081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305404663085938 × 2 - 1) × π
    0.389190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22267856170915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23489081} λ = -0.23489081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22267856170915))-π/2
    2×atan(3.39627268685845)-π/2
    2×1.28444782475615-π/2
    2.5688956495123-1.57079632675     		φ = 0.99809932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23489081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99809932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.186879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30318 KachelY 20015 -0.23489081 0.99809932 -13.458252 57.186879
    Oben rechts KachelX + 1 30319 KachelY 20015 -0.23479493 0.99809932 -13.452759 57.186879
    Unten links KachelX 30318 KachelY + 1 20016 -0.23489081 0.99804737 -13.458252 57.183902
    Unten rechts KachelX + 1 30319 KachelY + 1 20016 -0.23479493 0.99804737 -13.452759 57.183902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99809932-0.99804737) × R
    5.19500000000228e-05 × 6371000     		dl = 330.973450000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99809932-0.99804737) × R
    5.19500000000228e-05 × 6371000     		dr = 330.973450000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23489081--0.23479493) × cos(0.99809932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541900696033006 × 6371000     		do = 331.020842184766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23489081--0.23479493) × cos(0.99804737) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541944356290851 × 6371000     		du = 331.047512117888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99809932)-sin(0.99804737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541900696033006-0.541944356290851)×R²
    abs(-0.23479493--0.23489081)×4.36602578450795e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36602578450795e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36602578450795e-05×40589641000000     		ar = 109563.523704525m²