Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30317 / 42191
↖ ↑ ↗
← S 45.886184°
W 13.463745°		 ← 425.16 m → S 45.886184°
W 13.458252°		 →
↑
425.20 m
↓
↑
425.20 m
↓
S 45.890008°
W 13.463745°		 ← 425.13 m →
180 772 m²		 S 45.890008°
W 13.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462608337402344 y=0.643791198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462608337402344 × 216)
    floor (0.462608337402344 × 65536)
    floor (30317.5)     		tx = 30317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643791198730469 × 216)
    floor (0.643791198730469 × 65536)
    floor (42191.5)     		ty = 42191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30317 / 42191 ti = "16/30317/42191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30317/42191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30317 ÷ 216
    30317 ÷ 65536     		x = 0.462600708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42191 ÷ 216
    42191 ÷ 65536     		y = 0.643783569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462600708007812 × 2 - 1) × π
    -0.074798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23498668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643783569335938 × 2 - 1) × π
    -0.287567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.903418810239578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23498668} λ = -0.23498668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903418810239578))-π/2
    2×atan(0.405182048565986)-π/2
    2×0.384965662391719-π/2
    0.769931324783439-1.57079632675     		φ = -0.80086500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23498668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.463745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80086500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.886184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30317 KachelY 42191 -0.23498668 -0.80086500 -13.463745 -45.886184
    Oben rechts KachelX + 1 30318 KachelY 42191 -0.23489081 -0.80086500 -13.458252 -45.886184
    Unten links KachelX 30317 KachelY + 1 42192 -0.23498668 -0.80093174 -13.463745 -45.890008
    Unten rechts KachelX + 1 30318 KachelY + 1 42192 -0.23489081 -0.80093174 -13.458252 -45.890008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80086500--0.80093174) × R
    6.67399999999541e-05 × 6371000     		dl = 425.200539999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80086500--0.80093174) × R
    6.67399999999541e-05 × 6371000     		dr = 425.200539999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23498668--0.23489081) × cos(-0.80086500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.696085935759245 × 6371000     		do = 425.160776430743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23498668--0.23489081) × cos(-0.80093174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69603801766048 × 6371000     		du = 425.131508642056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80086500)-sin(-0.80093174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696085935759245-0.69603801766048)×R²
    abs(-0.23489081--0.23498668)×4.79180987654759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79180987654759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79180987654759e-05×40589641000000     		ar = 180772.369452379m²