Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30317 / 20647
↖ ↑ ↗
← N 55.257208°
W 13.463745°		 ← 348.08 m → N 55.257208°
W 13.458252°		 →
↑
348.11 m
↓
↑
348.11 m
↓
N 55.254077°
W 13.463745°		 ← 348.11 m →
121 177 m²		 N 55.254077°
W 13.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462608337402344 y=0.315055847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462608337402344 × 216)
    floor (0.462608337402344 × 65536)
    floor (30317.5)     		tx = 30317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315055847167969 × 216)
    floor (0.315055847167969 × 65536)
    floor (20647.5)     		ty = 20647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30317 / 20647 ti = "16/30317/20647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30317/20647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30317 ÷ 216
    30317 ÷ 65536     		x = 0.462600708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20647 ÷ 216
    20647 ÷ 65536     		y = 0.315048217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462600708007812 × 2 - 1) × π
    -0.074798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23498668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315048217773438 × 2 - 1) × π
    0.369903564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1620863205894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23498668} λ = -0.23498668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1620863205894))-π/2
    2×atan(3.19659544688443)-π/2
    2×1.2676082683722-π/2
    2.5352165367444-1.57079632675     		φ = 0.96442021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23498668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.463745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96442021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.257208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30317 KachelY 20647 -0.23498668 0.96442021 -13.463745 55.257208
    Oben rechts KachelX + 1 30318 KachelY 20647 -0.23489081 0.96442021 -13.458252 55.257208
    Unten links KachelX 30317 KachelY + 1 20648 -0.23498668 0.96436557 -13.463745 55.254077
    Unten rechts KachelX + 1 30318 KachelY + 1 20648 -0.23489081 0.96436557 -13.458252 55.254077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96442021-0.96436557) × R
    5.46399999999947e-05 × 6371000     		dl = 348.111439999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96442021-0.96436557) × R
    5.46399999999947e-05 × 6371000     		dr = 348.111439999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23498668--0.23489081) × cos(0.96442021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5698933963205 × 6371000     		do = 348.083916676317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23498668--0.23489081) × cos(0.96436557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.569938294176034 × 6371000     		du = 348.111339737376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96442021)-sin(0.96436557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5698933963205-0.569938294176034)×R²
    abs(-0.23489081--0.23498668)×4.48978555346313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48978555346313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48978555346313e-05×40589641000000     		ar = 121176.766646076m²