Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30316 / 20433
↖ ↑ ↗
← N 55.921508°
W 13.469239°		 ← 342.28 m → N 55.921508°
W 13.463745°		 →
↑
342.31 m
↓
↑
342.31 m
↓
N 55.918430°
W 13.469239°		 ← 342.30 m →
117 171 m²		 N 55.918430°
W 13.463745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462593078613281 y=0.311790466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462593078613281 × 216)
    floor (0.462593078613281 × 65536)
    floor (30316.5)     		tx = 30316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311790466308594 × 216)
    floor (0.311790466308594 × 65536)
    floor (20433.5)     		ty = 20433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30316 / 20433 ti = "16/30316/20433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30316/20433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30316 ÷ 216
    30316 ÷ 65536     		x = 0.46258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20433 ÷ 216
    20433 ÷ 65536     		y = 0.311782836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23508256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311782836914062 × 2 - 1) × π
    0.376434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18260331362679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23508256} λ = -0.23508256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18260331362679))-π/2
    2×atan(3.26285739701509)-π/2
    2×1.27340538161607-π/2
    2.54681076323214-1.57079632675     		φ = 0.97601444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23508256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97601444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.921508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30316 KachelY 20433 -0.23508256 0.97601444 -13.469239 55.921508
    Oben rechts KachelX + 1 30317 KachelY 20433 -0.23498668 0.97601444 -13.463745 55.921508
    Unten links KachelX 30316 KachelY + 1 20434 -0.23508256 0.97596071 -13.469239 55.918430
    Unten rechts KachelX + 1 30317 KachelY + 1 20434 -0.23498668 0.97596071 -13.463745 55.918430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97601444-0.97596071) × R
    5.37300000000851e-05 × 6371000     		dl = 342.313830000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97601444-0.97596071) × R
    5.37300000000851e-05 × 6371000     		dr = 342.313830000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23508256--0.23498668) × cos(0.97601444) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.560328111044148 × 6371000     		do = 342.277255916896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23508256--0.23498668) × cos(0.97596071) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.560372613221828 × 6371000     		du = 342.304440137995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97601444)-sin(0.97596071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560328111044148-0.560372613221828)×R²
    abs(-0.23498668--0.23508256)×4.45021776804833e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45021776804833e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45021776804833e-05×40589641000000     		ar = 117170.891190582m²