Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30315 / 20588
↖ ↑ ↗
← N 55.441480°
W 13.474731°		 ← 346.47 m → N 55.441480°
W 13.469239°		 →
↑
346.52 m
↓
↑
346.52 m
↓
N 55.438363°
W 13.474731°		 ← 346.50 m →
120 062 m²		 N 55.438363°
W 13.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462577819824219 y=0.314155578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462577819824219 × 216)
    floor (0.462577819824219 × 65536)
    floor (30315.5)     		tx = 30315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314155578613281 × 216)
    floor (0.314155578613281 × 65536)
    floor (20588.5)     		ty = 20588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30315 / 20588 ti = "16/30315/20588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30315/20588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30315 ÷ 216
    30315 ÷ 65536     		x = 0.462570190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20588 ÷ 216
    20588 ÷ 65536     		y = 0.31414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462570190429688 × 2 - 1) × π
    -0.074859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23517843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31414794921875 × 2 - 1) × π
    0.3717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16774287474457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23517843} λ = -0.23517843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16774287474457))-π/2
    2×atan(3.21472839880477)-π/2
    2×1.26921634188472-π/2
    2.53843268376944-1.57079632675     		φ = 0.96763636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23517843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.474731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96763636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.441480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30315 KachelY 20588 -0.23517843 0.96763636 -13.474731 55.441480
    Oben rechts KachelX + 1 30316 KachelY 20588 -0.23508256 0.96763636 -13.469239 55.441480
    Unten links KachelX 30315 KachelY + 1 20589 -0.23517843 0.96758197 -13.474731 55.438363
    Unten rechts KachelX + 1 30316 KachelY + 1 20589 -0.23508256 0.96758197 -13.469239 55.438363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96763636-0.96758197) × R
    5.43899999999597e-05 × 6371000     		dl = 346.518689999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96763636-0.96758197) × R
    5.43899999999597e-05 × 6371000     		dr = 346.518689999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23517843--0.23508256) × cos(0.96763636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567247683107078 × 6371000     		do = 346.467947402631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23517843--0.23508256) × cos(0.96758197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567292475002716 × 6371000     		du = 346.495305744682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96763636)-sin(0.96758197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567247683107078-0.567292475002716)×R²
    abs(-0.23508256--0.23517843)×4.47918956386628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47918956386628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47918956386628e-05×40589641000000     		ar = 120062.359379098m²