Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30315 / 16805
↖ ↑ ↗
← N 65.574365°
W 13.474731°		 ← 252.57 m → N 65.574365°
W 13.469239°		 →
↑
252.61 m
↓
↑
252.61 m
↓
N 65.572094°
W 13.474731°		 ← 252.59 m →
63 804 m²		 N 65.572094°
W 13.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462577819824219 y=0.256431579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462577819824219 × 216)
    floor (0.462577819824219 × 65536)
    floor (30315.5)     		tx = 30315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256431579589844 × 216)
    floor (0.256431579589844 × 65536)
    floor (16805.5)     		ty = 16805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30315 / 16805 ti = "16/30315/16805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30315/16805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30315 ÷ 216
    30315 ÷ 65536     		x = 0.462570190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16805 ÷ 216
    16805 ÷ 65536     		y = 0.256423950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462570190429688 × 2 - 1) × π
    -0.074859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23517843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256423950195312 × 2 - 1) × π
    0.487152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.53043345726991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23517843} λ = -0.23517843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53043345726991))-π/2
    2×atan(4.62017903852339)-π/2
    2×1.35764245098616-π/2
    2.71528490197232-1.57079632675     		φ = 1.14448858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23517843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.474731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14448858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.574365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30315 KachelY 16805 -0.23517843 1.14448858 -13.474731 65.574365
    Oben rechts KachelX + 1 30316 KachelY 16805 -0.23508256 1.14448858 -13.469239 65.574365
    Unten links KachelX 30315 KachelY + 1 16806 -0.23517843 1.14444893 -13.474731 65.572094
    Unten rechts KachelX + 1 30316 KachelY + 1 16806 -0.23508256 1.14444893 -13.469239 65.572094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14448858-1.14444893) × R
    3.96499999999467e-05 × 6371000     		dl = 252.61014999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14448858-1.14444893) × R
    3.96499999999467e-05 × 6371000     		dr = 252.61014999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23517843--0.23508256) × cos(1.14448858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413511836811084 × 6371000     		do = 252.567972674441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23517843--0.23508256) × cos(1.14444893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413547937761185 × 6371000     		du = 252.590022693247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14448858)-sin(1.14444893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413511836811084-0.413547937761185)×R²
    abs(-0.23508256--0.23517843)×3.61009501007037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61009501007037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61009501007037e-05×40589641000000     		ar = 63804.0185001165m²