Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30313 / 28072
↖ ↑ ↗
← N 24.966140°
W 13.485718°		 ← 553.77 m → N 24.966140°
W 13.480224°		 →
↑
553.77 m
↓
↑
553.77 m
↓
N 24.961160°
W 13.485718°		 ← 553.79 m →
306 667 m²		 N 24.961160°
W 13.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462547302246094 y=0.428352355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462547302246094 × 216)
    floor (0.462547302246094 × 65536)
    floor (30313.5)     		tx = 30313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428352355957031 × 216)
    floor (0.428352355957031 × 65536)
    floor (28072.5)     		ty = 28072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30313 / 28072 ti = "16/30313/28072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30313/28072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30313 ÷ 216
    30313 ÷ 65536     		x = 0.462539672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28072 ÷ 216
    28072 ÷ 65536     		y = 0.4283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462539672851562 × 2 - 1) × π
    -0.074920654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23537018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    0.143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450223361231567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23537018} λ = -0.23537018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450223361231567))-π/2
    2×atan(1.56866252475605)-π/2
    2×1.00326883704405-π/2
    2.0065376740881-1.57079632675     		φ = 0.43574135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23537018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.485718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43574135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.966140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30313 KachelY 28072 -0.23537018 0.43574135 -13.485718 24.966140
    Oben rechts KachelX + 1 30314 KachelY 28072 -0.23527430 0.43574135 -13.480224 24.966140
    Unten links KachelX 30313 KachelY + 1 28073 -0.23537018 0.43565443 -13.485718 24.961160
    Unten rechts KachelX + 1 30314 KachelY + 1 28073 -0.23527430 0.43565443 -13.480224 24.961160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43574135-0.43565443) × R
    8.69200000000458e-05 × 6371000     		dl = 553.767320000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43574135-0.43565443) × R
    8.69200000000458e-05 × 6371000     		dr = 553.767320000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23537018--0.23527430) × cos(0.43574135) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.906557380519105 × 6371000     		do = 553.771917595136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23537018--0.23527430) × cos(0.43565443) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.906594064513535 × 6371000     		du = 553.794326067426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43574135)-sin(0.43565443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906557380519105-0.906594064513535)×R²
    abs(-0.23527430--0.23537018)×3.66839944304642e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.66839944304642e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.66839944304642e-05×40589641000000     		ar = 306666.995431114m²