Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30313 / 20593
↖ ↑ ↗
← N 55.425896°
W 13.485718°		 ← 346.64 m → N 55.425896°
W 13.480224°		 →
↑
346.65 m
↓
↑
346.65 m
↓
N 55.422779°
W 13.485718°		 ← 346.67 m →
120 166 m²		 N 55.422779°
W 13.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462547302246094 y=0.314231872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462547302246094 × 216)
    floor (0.462547302246094 × 65536)
    floor (30313.5)     		tx = 30313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314231872558594 × 216)
    floor (0.314231872558594 × 65536)
    floor (20593.5)     		ty = 20593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30313 / 20593 ti = "16/30313/20593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30313/20593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30313 ÷ 216
    30313 ÷ 65536     		x = 0.462539672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20593 ÷ 216
    20593 ÷ 65536     		y = 0.314224243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462539672851562 × 2 - 1) × π
    -0.074920654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23537018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314224243164062 × 2 - 1) × π
    0.371551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16726350574837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23537018} λ = -0.23537018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16726350574837))-π/2
    2×atan(3.21318772698384)-π/2
    2×1.2690803545686-π/2
    2.5381607091372-1.57079632675     		φ = 0.96736438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23537018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.485718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96736438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.425896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30313 KachelY 20593 -0.23537018 0.96736438 -13.485718 55.425896
    Oben rechts KachelX + 1 30314 KachelY 20593 -0.23527430 0.96736438 -13.480224 55.425896
    Unten links KachelX 30313 KachelY + 1 20594 -0.23537018 0.96730997 -13.485718 55.422779
    Unten rechts KachelX + 1 30314 KachelY + 1 20594 -0.23527430 0.96730997 -13.480224 55.422779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96736438-0.96730997) × R
    5.44100000000602e-05 × 6371000     		dl = 346.646110000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96736438-0.96730997) × R
    5.44100000000602e-05 × 6371000     		dr = 346.646110000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23537018--0.23527430) × cos(0.96736438) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.567471650503679 × 6371000     		do = 346.640897568289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23537018--0.23527430) × cos(0.96730997) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.567516450473281 × 6371000     		du = 346.668263696024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96736438)-sin(0.96730997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567471650503679-0.567516450473281)×R²
    abs(-0.23527430--0.23537018)×4.47999696014945e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.47999696014945e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.47999696014945e-05×40589641000000     		ar = 120166.461919481m²