Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30313 / 17011
↖ ↑ ↗
← N 65.102211°
W 13.485718°		 ← 257.17 m → N 65.102211°
W 13.480224°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
N 65.099898°
W 13.485718°		 ← 257.19 m →
66 146 m²		 N 65.099898°
W 13.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462547302246094 y=0.259574890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462547302246094 × 216)
    floor (0.462547302246094 × 65536)
    floor (30313.5)     		tx = 30313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259574890136719 × 216)
    floor (0.259574890136719 × 65536)
    floor (17011.5)     		ty = 17011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30313 / 17011 ti = "16/30313/17011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30313/17011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30313 ÷ 216
    30313 ÷ 65536     		x = 0.462539672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17011 ÷ 216
    17011 ÷ 65536     		y = 0.259567260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462539672851562 × 2 - 1) × π
    -0.074920654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23537018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259567260742188 × 2 - 1) × π
    0.480865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51068345462645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23537018} λ = -0.23537018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51068345462645))-π/2
    2×atan(4.52982566690034)-π/2
    2×1.35352213152841-π/2
    2.70704426305682-1.57079632675     		φ = 1.13624794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23537018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.485718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13624794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.102211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30313 KachelY 17011 -0.23537018 1.13624794 -13.485718 65.102211
    Oben rechts KachelX + 1 30314 KachelY 17011 -0.23527430 1.13624794 -13.480224 65.102211
    Unten links KachelX 30313 KachelY + 1 17012 -0.23537018 1.13620757 -13.485718 65.099898
    Unten rechts KachelX + 1 30314 KachelY + 1 17012 -0.23527430 1.13620757 -13.480224 65.099898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13624794-1.13620757) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13624794-1.13620757) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23537018--0.23527430) × cos(1.13624794) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.421000803919884 × 6371000     		do = 257.168964155706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23537018--0.23527430) × cos(1.13620757) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.421037421599684 × 6371000     		du = 257.191332119606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13624794)-sin(1.13620757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421000803919884-0.421037421599684)×R²
    abs(-0.23527430--0.23537018)×3.66176798001772e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.66176798001772e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.66176798001772e-05×40589641000000     		ar = 66146.0320080244m²