Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30312 / 6954
↖ ↑ ↗
← N 71.378127°
E153.017578°		 ← 390.10 m → N 71.378127°
E153.028564°		 →
↑
390.10 m
↓
↑
390.10 m
↓
N 71.374619°
E153.017578°		 ← 390.17 m →
152 189 m²		 N 71.374619°
E153.028564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925064086914062 y=0.212234497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925064086914062 × 215)
    floor (0.925064086914062 × 32768)
    floor (30312.5)     		tx = 30312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212234497070312 × 215)
    floor (0.212234497070312 × 32768)
    floor (6954.5)     		ty = 6954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30312 / 6954 ti = "15/30312/6954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30312/6954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30312 ÷ 215
    30312 ÷ 32768     		x = 0.925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6954 ÷ 215
    6954 ÷ 32768     		y = 0.21221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925048828125 × 2 - 1) × π
    0.85009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67066055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21221923828125 × 2 - 1) × π
    0.5755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80817985366852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67066055} λ = 2.67066055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80817985366852))-π/2
    2×atan(6.09933563936535)-π/2
    2×1.40828982864535-π/2
    2.81657965729069-1.57079632675     		φ = 1.24578333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67066055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24578333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.378127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30312 KachelY 6954 2.67066055 1.24578333 153.017578 71.378127
    Oben rechts KachelX + 1 30313 KachelY 6954 2.67085230 1.24578333 153.028564 71.378127
    Unten links KachelX 30312 KachelY + 1 6955 2.67066055 1.24572210 153.017578 71.374619
    Unten rechts KachelX + 1 30313 KachelY + 1 6955 2.67085230 1.24572210 153.028564 71.374619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24578333-1.24572210) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dl = 390.096330000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24578333-1.24572210) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dr = 390.096330000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67066055-2.67085230) × cos(1.24578333) × R
    0.000191749999999935 × 0.319321102252157 × 6371000     		do = 390.095191864366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67066055-2.67085230) × cos(1.24572210) × R
    0.000191749999999935 × 0.319379126053405 × 6371000     		du = 390.166076017405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24578333)-sin(1.24572210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319321102252157-0.319379126053405)×R²
    abs(2.67085230-2.67066055)×5.8023801247864e-05×R²
    0.000191749999999935×5.8023801247864e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.8023801247864e-05×40589641000000     		ar = 152188.528568916m²