Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30311 / 17012
↖ ↑ ↗
← N 65.099898°
W 13.496704°		 ← 257.16 m → N 65.099898°
W 13.491211°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
N 65.097585°
W 13.496704°		 ← 257.19 m →
66 145 m²		 N 65.097585°
W 13.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462516784667969 y=0.259590148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462516784667969 × 216)
    floor (0.462516784667969 × 65536)
    floor (30311.5)     		tx = 30311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259590148925781 × 216)
    floor (0.259590148925781 × 65536)
    floor (17012.5)     		ty = 17012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30311 / 17012 ti = "16/30311/17012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30311/17012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30311 ÷ 216
    30311 ÷ 65536     		x = 0.462509155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17012 ÷ 216
    17012 ÷ 65536     		y = 0.25958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462509155273438 × 2 - 1) × π
    -0.074981689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23556192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25958251953125 × 2 - 1) × π
    0.4808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51058758082721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23556192} λ = -0.23556192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51058758082721))-π/2
    2×atan(4.52939139612169)-π/2
    2×1.35350194917743-π/2
    2.70700389835486-1.57079632675     		φ = 1.13620757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23556192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.496704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13620757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.099898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30311 KachelY 17012 -0.23556192 1.13620757 -13.496704 65.099898
    Oben rechts KachelX + 1 30312 KachelY 17012 -0.23546605 1.13620757 -13.491211 65.099898
    Unten links KachelX 30311 KachelY + 1 17013 -0.23556192 1.13616720 -13.496704 65.097585
    Unten rechts KachelX + 1 30312 KachelY + 1 17013 -0.23546605 1.13616720 -13.491211 65.097585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13620757-1.13616720) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13620757-1.13616720) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23556192--0.23546605) × cos(1.13620757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421037421599684 × 6371000     		do = 257.164507825416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23556192--0.23546605) × cos(1.13616720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421074038593304 × 6371000     		du = 257.186873037293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13620757)-sin(1.13616720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421037421599684-0.421074038593304)×R²
    abs(-0.23546605--0.23556192)×3.66169936199534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66169936199534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66169936199534e-05×40589641000000     		ar = 66144.8854984836m²