Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30309 / 41429
↖ ↑ ↗
← S 42.896088°
W 13.507690°		 ← 447.46 m → S 42.896088°
W 13.502197°		 →
↑
447.50 m
↓
↑
447.50 m
↓
S 42.900113°
W 13.507690°		 ← 447.43 m →
200 230 m²		 S 42.900113°
W 13.502197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462486267089844 y=0.632164001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462486267089844 × 216)
    floor (0.462486267089844 × 65536)
    floor (30309.5)     		tx = 30309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632164001464844 × 216)
    floor (0.632164001464844 × 65536)
    floor (41429.5)     		ty = 41429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30309 / 41429 ti = "16/30309/41429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30309/41429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30309 ÷ 216
    30309 ÷ 65536     		x = 0.462478637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41429 ÷ 216
    41429 ÷ 65536     		y = 0.632156372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462478637695312 × 2 - 1) × π
    -0.075042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23575367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632156372070312 × 2 - 1) × π
    -0.264312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.830362975218613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23575367} λ = -0.23575367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830362975218613))-π/2
    2×atan(0.435891039957999)-π/2
    2×0.411059172667944-π/2
    0.822118345335889-1.57079632675     		φ = -0.74867798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23575367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74867798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.896088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30309 KachelY 41429 -0.23575367 -0.74867798 -13.507690 -42.896088
    Oben rechts KachelX + 1 30310 KachelY 41429 -0.23565780 -0.74867798 -13.502197 -42.896088
    Unten links KachelX 30309 KachelY + 1 41430 -0.23575367 -0.74874822 -13.507690 -42.900113
    Unten rechts KachelX + 1 30310 KachelY + 1 41430 -0.23565780 -0.74874822 -13.502197 -42.900113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74867798--0.74874822) × R
    7.02399999999992e-05 × 6371000     		dl = 447.499039999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74867798--0.74874822) × R
    7.02399999999992e-05 × 6371000     		dr = 447.499039999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23575367--0.23565780) × cos(-0.74867798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732589369285137 × 6371000     		do = 447.456627191365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23575367--0.23565780) × cos(-0.74874822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732541557156985 × 6371000     		du = 447.427424128233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74867798)-sin(-0.74874822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732589369285137-0.732541557156985)×R²
    abs(-0.23565780--0.23575367)×4.78121281517474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78121281517474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78121281517474e-05×40589641000000     		ar = 200229.877020582m²