Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30309 / 28069
↖ ↑ ↗
← N 24.981079°
W 13.507690°		 ← 553.65 m → N 24.981079°
W 13.502197°		 →
↑
553.70 m
↓
↑
553.70 m
↓
N 24.976099°
W 13.507690°		 ← 553.67 m →
306 563 m²		 N 24.976099°
W 13.502197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462486267089844 y=0.428306579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462486267089844 × 216)
    floor (0.462486267089844 × 65536)
    floor (30309.5)     		tx = 30309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428306579589844 × 216)
    floor (0.428306579589844 × 65536)
    floor (28069.5)     		ty = 28069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30309 / 28069 ti = "16/30309/28069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30309/28069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30309 ÷ 216
    30309 ÷ 65536     		x = 0.462478637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28069 ÷ 216
    28069 ÷ 65536     		y = 0.428298950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462478637695312 × 2 - 1) × π
    -0.075042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23575367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428298950195312 × 2 - 1) × π
    0.143402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.450510982629288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23575367} λ = -0.23575367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450510982629288))-π/2
    2×atan(1.56911377055484)-π/2
    2×1.00339920177989-π/2
    2.00679840355977-1.57079632675     		φ = 0.43600208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23575367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43600208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.981079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30309 KachelY 28069 -0.23575367 0.43600208 -13.507690 24.981079
    Oben rechts KachelX + 1 30310 KachelY 28069 -0.23565780 0.43600208 -13.502197 24.981079
    Unten links KachelX 30309 KachelY + 1 28070 -0.23575367 0.43591517 -13.507690 24.976099
    Unten rechts KachelX + 1 30310 KachelY + 1 28070 -0.23565780 0.43591517 -13.502197 24.976099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43600208-0.43591517) × R
    8.69099999999956e-05 × 6371000     		dl = 553.703609999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43600208-0.43591517) × R
    8.69099999999956e-05 × 6371000     		dr = 553.703609999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23575367--0.23565780) × cos(0.43600208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906447300111775 × 6371000     		do = 553.64692505778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23575367--0.23565780) × cos(0.43591517) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906484000427966 × 6371000     		du = 553.669341162064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43600208)-sin(0.43591517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906447300111775-0.906484000427966)×R²
    abs(-0.23565780--0.23575367)×3.6700316191518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6700316191518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6700316191518e-05×40589641000000     		ar = 306562.507201732m²