Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30309 / 13164
↖ ↑ ↗
← N 72.639931°
W 13.507690°		 ← 182.24 m → N 72.639931°
W 13.502197°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 72.638292°
W 13.507690°		 ← 182.26 m →
33 208 m²		 N 72.638292°
W 13.502197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462486267089844 y=0.200874328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462486267089844 × 216)
    floor (0.462486267089844 × 65536)
    floor (30309.5)     		tx = 30309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200874328613281 × 216)
    floor (0.200874328613281 × 65536)
    floor (13164.5)     		ty = 13164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30309 / 13164 ti = "16/30309/13164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30309/13164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30309 ÷ 216
    30309 ÷ 65536     		x = 0.462478637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13164 ÷ 216
    13164 ÷ 65536     		y = 0.20086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462478637695312 × 2 - 1) × π
    -0.075042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23575367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20086669921875 × 2 - 1) × π
    0.5982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87950996030316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23575367} λ = -0.23575367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87950996030316))-π/2
    2×atan(6.55029417140247)-π/2
    2×1.41930114509408-π/2
    2.83860229018817-1.57079632675     		φ = 1.26780596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23575367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26780596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.639931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30309 KachelY 13164 -0.23575367 1.26780596 -13.507690 72.639931
    Oben rechts KachelX + 1 30310 KachelY 13164 -0.23565780 1.26780596 -13.502197 72.639931
    Unten links KachelX 30309 KachelY + 1 13165 -0.23575367 1.26777736 -13.507690 72.638292
    Unten rechts KachelX + 1 30310 KachelY + 1 13165 -0.23565780 1.26777736 -13.502197 72.638292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26780596-1.26777736) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dl = 182.210600000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26780596-1.26777736) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dr = 182.210600000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23575367--0.23565780) × cos(1.26780596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298375687605405 × 6371000     		do = 182.244220854718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23575367--0.23565780) × cos(1.26777736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29840298471062 × 6371000     		du = 182.26089359274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26780596)-sin(1.26777736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298375687605405-0.29840298471062)×R²
    abs(-0.23565780--0.23575367)×2.72971052148741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72971052148741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72971052148741e-05×40589641000000     		ar = 33208.3478057834m²