Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30308 / 42181
↖ ↑ ↗
← S 45.847934°
W 13.513184°		 ← 425.50 m → S 45.847934°
W 13.507690°		 →
↑
425.46 m
↓
↑
425.46 m
↓
S 45.851761°
W 13.513184°		 ← 425.47 m →
181 024 m²		 S 45.851761°
W 13.507690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462471008300781 y=0.643638610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462471008300781 × 216)
    floor (0.462471008300781 × 65536)
    floor (30308.5)     		tx = 30308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643638610839844 × 216)
    floor (0.643638610839844 × 65536)
    floor (42181.5)     		ty = 42181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30308 / 42181 ti = "16/30308/42181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30308/42181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30308 ÷ 216
    30308 ÷ 65536     		x = 0.46246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42181 ÷ 216
    42181 ÷ 65536     		y = 0.643630981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643630981445312 × 2 - 1) × π
    -0.287261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.902460072247177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23584955} λ = -0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902460072247177))-π/2
    2×atan(0.405570698266632)-π/2
    2×0.385299459251235-π/2
    0.77059891850247-1.57079632675     		φ = -0.80019741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80019741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.847934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30308 KachelY 42181 -0.23584955 -0.80019741 -13.513184 -45.847934
    Oben rechts KachelX + 1 30309 KachelY 42181 -0.23575367 -0.80019741 -13.507690 -45.847934
    Unten links KachelX 30308 KachelY + 1 42182 -0.23584955 -0.80026419 -13.513184 -45.851761
    Unten rechts KachelX + 1 30309 KachelY + 1 42182 -0.23575367 -0.80026419 -13.507690 -45.851761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80019741--0.80026419) × R
    6.6780000000044e-05 × 6371000     		dl = 425.455380000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80019741--0.80026419) × R
    6.6780000000044e-05 × 6371000     		dr = 425.455380000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23584955--0.23575367) × cos(-0.80019741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.696565082506604 × 6371000     		do = 425.497811565448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23584955--0.23575367) × cos(-0.80026419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.696517166729921 × 6371000     		du = 425.468542142346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80019741)-sin(-0.80026419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696565082506604-0.696517166729921)×R²
    abs(-0.23575367--0.23584955)×4.79157766832827e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79157766832827e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79157766832827e-05×40589641000000     		ar = 181024.106759079m²