Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30308 / 20677
↖ ↑ ↗
← N 55.163181°
W 13.513184°		 ← 348.94 m → N 55.163181°
W 13.507690°		 →
↑
348.94 m
↓
↑
348.94 m
↓
N 55.160043°
W 13.513184°		 ← 348.97 m →
121 765 m²		 N 55.160043°
W 13.507690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462471008300781 y=0.315513610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462471008300781 × 216)
    floor (0.462471008300781 × 65536)
    floor (30308.5)     		tx = 30308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315513610839844 × 216)
    floor (0.315513610839844 × 65536)
    floor (20677.5)     		ty = 20677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30308 / 20677 ti = "16/30308/20677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30308/20677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30308 ÷ 216
    30308 ÷ 65536     		x = 0.46246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20677 ÷ 216
    20677 ÷ 65536     		y = 0.315505981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315505981445312 × 2 - 1) × π
    0.368988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1592101066122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23584955} λ = -0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1592101066122))-π/2
    2×atan(3.18741456380191)-π/2
    2×1.26678773180182-π/2
    2.53357546360364-1.57079632675     		φ = 0.96277914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96277914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.163181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30308 KachelY 20677 -0.23584955 0.96277914 -13.513184 55.163181
    Oben rechts KachelX + 1 30309 KachelY 20677 -0.23575367 0.96277914 -13.507690 55.163181
    Unten links KachelX 30308 KachelY + 1 20678 -0.23584955 0.96272437 -13.513184 55.160043
    Unten rechts KachelX + 1 30309 KachelY + 1 20678 -0.23575367 0.96272437 -13.507690 55.160043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96277914-0.96272437) × R
    5.47699999999818e-05 × 6371000     		dl = 348.939669999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96277914-0.96272437) × R
    5.47699999999818e-05 × 6371000     		dr = 348.939669999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23584955--0.23575367) × cos(0.96277914) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571241126124443 × 6371000     		do = 348.943487329956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23584955--0.23575367) × cos(0.96272437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571286079513928 × 6371000     		du = 348.970947174454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96277914)-sin(0.96272437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571241126124443-0.571286079513928)×R²
    abs(-0.23575367--0.23584955)×4.49533894848475e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49533894848475e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49533894848475e-05×40589641000000     		ar = 121765.016262301m²