Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30308 / 13165
↖ ↑ ↗
← N 72.638292°
W 13.513184°		 ← 182.28 m → N 72.638292°
W 13.507690°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
N 72.636653°
W 13.513184°		 ← 182.30 m →
33 226 m²		 N 72.636653°
W 13.507690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462471008300781 y=0.200889587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462471008300781 × 216)
    floor (0.462471008300781 × 65536)
    floor (30308.5)     		tx = 30308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200889587402344 × 216)
    floor (0.200889587402344 × 65536)
    floor (13165.5)     		ty = 13165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30308 / 13165 ti = "16/30308/13165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30308/13165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30308 ÷ 216
    30308 ÷ 65536     		x = 0.46246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13165 ÷ 216
    13165 ÷ 65536     		y = 0.200881958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200881958007812 × 2 - 1) × π
    0.598236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87941408650392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23584955} λ = -0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87941408650392))-π/2
    2×atan(6.54966619991761)-π/2
    2×1.41928684123442-π/2
    2.83857368246883-1.57079632675     		φ = 1.26777736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26777736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.638292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30308 KachelY 13165 -0.23584955 1.26777736 -13.513184 72.638292
    Oben rechts KachelX + 1 30309 KachelY 13165 -0.23575367 1.26777736 -13.507690 72.638292
    Unten links KachelX 30308 KachelY + 1 13166 -0.23584955 1.26774875 -13.513184 72.636653
    Unten rechts KachelX + 1 30309 KachelY + 1 13166 -0.23575367 1.26774875 -13.507690 72.636653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26777736-1.26774875) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dl = 182.274309999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26777736-1.26774875) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dr = 182.274309999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23584955--0.23575367) × cos(1.26777736) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.29840298471062 × 6371000     		do = 182.279904846886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23584955--0.23575367) × cos(1.26774875) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.298430291116067 × 6371000     		du = 182.296585005067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26777736)-sin(1.26774875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29840298471062-0.298430291116067)×R²
    abs(-0.23575367--0.23584955)×2.73064054474581e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.73064054474581e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.73064054474581e-05×40589641000000     		ar = 33226.4640673325m²