Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30307 / 28067
↖ ↑ ↗
← N 24.991037°
W 13.518677°		 ← 553.60 m → N 24.991037°
W 13.513184°		 →
↑
553.64 m
↓
↑
553.64 m
↓
N 24.986058°
W 13.518677°		 ← 553.62 m →
306 502 m²		 N 24.986058°
W 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462455749511719 y=0.428276062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462455749511719 × 216)
    floor (0.462455749511719 × 65536)
    floor (30307.5)     		tx = 30307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428276062011719 × 216)
    floor (0.428276062011719 × 65536)
    floor (28067.5)     		ty = 28067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30307 / 28067 ti = "16/30307/28067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30307/28067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30307 ÷ 216
    30307 ÷ 65536     		x = 0.462448120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28067 ÷ 216
    28067 ÷ 65536     		y = 0.428268432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462448120117188 × 2 - 1) × π
    -0.075103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23594542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428268432617188 × 2 - 1) × π
    0.143463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.450702730227768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23594542} λ = -0.23594542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450702730227768))-π/2
    2×atan(1.56941467319984)-π/2
    2×1.00348610280744-π/2
    2.00697220561488-1.57079632675     		φ = 0.43617588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23594542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.518677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43617588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.991037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30307 KachelY 28067 -0.23594542 0.43617588 -13.518677 24.991037
    Oben rechts KachelX + 1 30308 KachelY 28067 -0.23584955 0.43617588 -13.513184 24.991037
    Unten links KachelX 30307 KachelY + 1 28068 -0.23594542 0.43608898 -13.518677 24.986058
    Unten rechts KachelX + 1 30308 KachelY + 1 28068 -0.23584955 0.43608898 -13.513184 24.986058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43617588-0.43608898) × R
    8.69000000000009e-05 × 6371000     		dl = 553.639900000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43617588-0.43608898) × R
    8.69000000000009e-05 × 6371000     		dr = 553.639900000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23594542--0.23584955) × cos(0.43617588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906373887389063 × 6371000     		do = 553.602085464585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23594542--0.23584955) × cos(0.43608898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906410597172849 × 6371000     		du = 553.62450735156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43617588)-sin(0.43608898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906373887389063-0.906410597172849)×R²
    abs(-0.23584955--0.23594542)×3.67097837856711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67097837856711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67097837856711e-05×40589641000000     		ar = 306502.410254979m²