Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30306 / 20605
↖ ↑ ↗
← N 55.388472°
W 13.524170°		 ← 346.93 m → N 55.388472°
W 13.518677°		 →
↑
346.96 m
↓
↑
346.96 m
↓
N 55.385352°
W 13.524170°		 ← 346.96 m →
120 378 m²		 N 55.385352°
W 13.518677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462440490722656 y=0.314414978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462440490722656 × 216)
    floor (0.462440490722656 × 65536)
    floor (30306.5)     		tx = 30306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314414978027344 × 216)
    floor (0.314414978027344 × 65536)
    floor (20605.5)     		ty = 20605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30306 / 20605 ti = "16/30306/20605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30306/20605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30306 ÷ 216
    30306 ÷ 65536     		x = 0.462432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20605 ÷ 216
    20605 ÷ 65536     		y = 0.314407348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.07513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23604129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314407348632812 × 2 - 1) × π
    0.371185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16611302015749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23604129} λ = -0.23604129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16611302015749))-π/2
    2×atan(3.20949312650297)-π/2
    2×1.26875376594979-π/2
    2.53750753189959-1.57079632675     		φ = 0.96671121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23604129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.524170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96671121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.388472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30306 KachelY 20605 -0.23604129 0.96671121 -13.524170 55.388472
    Oben rechts KachelX + 1 30307 KachelY 20605 -0.23594542 0.96671121 -13.518677 55.388472
    Unten links KachelX 30306 KachelY + 1 20606 -0.23604129 0.96665675 -13.524170 55.385352
    Unten rechts KachelX + 1 30307 KachelY + 1 20606 -0.23594542 0.96665675 -13.518677 55.385352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96671121-0.96665675) × R
    5.44600000000894e-05 × 6371000     		dl = 346.96466000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96671121-0.96665675) × R
    5.44600000000894e-05 × 6371000     		dr = 346.96466000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23604129--0.23594542) × cos(0.96671121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568009344978468 × 6371000     		do = 346.933161158552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23604129--0.23594542) × cos(0.96665675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568054165919914 × 6371000     		du = 346.960537241427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96671121)-sin(0.96665675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568009344978468-0.568054165919914)×R²
    abs(-0.23594542--0.23604129)×4.48209414460887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48209414460887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48209414460887e-05×40589641000000     		ar = 120378.29560057m²