Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30306 / 20249
↖ ↑ ↗
← N 56.483729°
W 13.524170°		 ← 337.26 m → N 56.483729°
W 13.518677°		 →
↑
337.28 m
↓
↑
337.28 m
↓
N 56.480695°
W 13.524170°		 ← 337.29 m →
113 756 m²		 N 56.480695°
W 13.518677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462440490722656 y=0.308982849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462440490722656 × 216)
    floor (0.462440490722656 × 65536)
    floor (30306.5)     		tx = 30306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308982849121094 × 216)
    floor (0.308982849121094 × 65536)
    floor (20249.5)     		ty = 20249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30306 / 20249 ti = "16/30306/20249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30306/20249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30306 ÷ 216
    30306 ÷ 65536     		x = 0.462432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20249 ÷ 216
    20249 ÷ 65536     		y = 0.308975219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.07513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23604129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308975219726562 × 2 - 1) × π
    0.382049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20024409268697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23604129} λ = -0.23604129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20024409268697))-π/2
    2×atan(3.32092743791365)-π/2
    2×1.27831168313224-π/2
    2.55662336626447-1.57079632675     		φ = 0.98582704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23604129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.524170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98582704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.483729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30306 KachelY 20249 -0.23604129 0.98582704 -13.524170 56.483729
    Oben rechts KachelX + 1 30307 KachelY 20249 -0.23594542 0.98582704 -13.518677 56.483729
    Unten links KachelX 30306 KachelY + 1 20250 -0.23604129 0.98577410 -13.524170 56.480695
    Unten rechts KachelX + 1 30307 KachelY + 1 20250 -0.23594542 0.98577410 -13.518677 56.480695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98582704-0.98577410) × R
    5.29400000000013e-05 × 6371000     		dl = 337.280740000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98582704-0.98577410) × R
    5.29400000000013e-05 × 6371000     		dr = 337.280740000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23604129--0.23594542) × cos(0.98582704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552173776099495 × 6371000     		do = 337.260989356283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23604129--0.23594542) × cos(0.98577410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55221791294136 × 6371000     		du = 337.2879475995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98582704)-sin(0.98577410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552173776099495-0.55221791294136)×R²
    abs(-0.23594542--0.23604129)×4.41368418647725e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41368418647725e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41368418647725e-05×40589641000000     		ar = 113756.182337888m²