Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30304 / 13155
↖ ↑ ↗
← N 72.654676°
W 13.535156°		 ← 182.09 m → N 72.654676°
W 13.529663°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 72.653038°
W 13.535156°		 ← 182.11 m →
33 169 m²		 N 72.653038°
W 13.529663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462409973144531 y=0.200736999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462409973144531 × 216)
    floor (0.462409973144531 × 65536)
    floor (30304.5)     		tx = 30304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200736999511719 × 216)
    floor (0.200736999511719 × 65536)
    floor (13155.5)     		ty = 13155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30304 / 13155 ti = "16/30304/13155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30304/13155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30304 ÷ 216
    30304 ÷ 65536     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13155 ÷ 216
    13155 ÷ 65536     		y = 0.200729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200729370117188 × 2 - 1) × π
    0.598541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88037282449632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88037282449632))-π/2
    2×atan(6.55594862485953)-π/2
    2×1.41942982094636-π/2
    2.83885964189272-1.57079632675     		φ = 1.26806332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26806332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.654676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30304 KachelY 13155 -0.23623304 1.26806332 -13.535156 72.654676
    Oben rechts KachelX + 1 30305 KachelY 13155 -0.23613717 1.26806332 -13.529663 72.654676
    Unten links KachelX 30304 KachelY + 1 13156 -0.23623304 1.26803473 -13.535156 72.653038
    Unten rechts KachelX + 1 30305 KachelY + 1 13156 -0.23613717 1.26803473 -13.529663 72.653038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26806332-1.26803473) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26806332-1.26803473) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23613717) × cos(1.26806332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29813004085949 × 6371000     		do = 182.094182826573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23613717) × cos(1.26803473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298157330614927 × 6371000     		du = 182.11085107544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26806332)-sin(1.26803473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29813004085949-0.298157330614927)×R²
    abs(-0.23613717--0.23623304)×2.72897554368656e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72897554368656e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72897554368656e-05×40589641000000     		ar = 33169.407125989m²