Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30303 / 13414
↖ ↑ ↗
← N 72.225455°
W 13.540650°		 ← 186.48 m → N 72.225455°
W 13.535156°		 →
↑
186.48 m
↓
↑
186.48 m
↓
N 72.223778°
W 13.540650°		 ← 186.49 m →
34 775 m²		 N 72.223778°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462394714355469 y=0.204689025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462394714355469 × 216)
    floor (0.462394714355469 × 65536)
    floor (30303.5)     		tx = 30303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204689025878906 × 216)
    floor (0.204689025878906 × 65536)
    floor (13414.5)     		ty = 13414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30303 / 13414 ti = "16/30303/13414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30303/13414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30303 ÷ 216
    30303 ÷ 65536     		x = 0.462387084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13414 ÷ 216
    13414 ÷ 65536     		y = 0.204681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462387084960938 × 2 - 1) × π
    -0.075225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23632892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204681396484375 × 2 - 1) × π
    0.59063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85554151049313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23632892} λ = -0.23632892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85554151049313))-π/2
    2×atan(6.39516035959212)-π/2
    2×1.41568416028772-π/2
    2.83136832057544-1.57079632675     		φ = 1.26057199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23632892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.540650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26057199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.225455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30303 KachelY 13414 -0.23632892 1.26057199 -13.540650 72.225455
    Oben rechts KachelX + 1 30304 KachelY 13414 -0.23623304 1.26057199 -13.535156 72.225455
    Unten links KachelX 30303 KachelY + 1 13415 -0.23632892 1.26054272 -13.540650 72.223778
    Unten rechts KachelX + 1 30304 KachelY + 1 13415 -0.23623304 1.26054272 -13.535156 72.223778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26057199-1.26054272) × R
    2.92700000001922e-05 × 6371000     		dl = 186.479170001225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26057199-1.26054272) × R
    2.92700000001922e-05 × 6371000     		dr = 186.479170001225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23632892--0.23623304) × cos(1.26057199) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.305272272226049 × 6371000     		do = 186.476019292231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23632892--0.23623304) × cos(1.26054272) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.305300144895048 × 6371000     		du = 186.49304535334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26057199)-sin(1.26054272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305272272226049-0.305300144895048)×R²
    abs(-0.23623304--0.23632892)×2.78726689988407e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.78726689988407e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.78726689988407e-05×40589641000000     		ar = 34775.4808078061m²