Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30302 / 28074
↖ ↑ ↗
← N 24.956180°
W 13.546143°		 ← 553.76 m → N 24.956180°
W 13.540650°		 →
↑
553.77 m
↓
↑
553.77 m
↓
N 24.951200°
W 13.546143°		 ← 553.78 m →
306 660 m²		 N 24.951200°
W 13.540650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462379455566406 y=0.428382873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462379455566406 × 216)
    floor (0.462379455566406 × 65536)
    floor (30302.5)     		tx = 30302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428382873535156 × 216)
    floor (0.428382873535156 × 65536)
    floor (28074.5)     		ty = 28074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30302 / 28074 ti = "16/30302/28074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30302/28074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30302 ÷ 216
    30302 ÷ 65536     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28074 ÷ 216
    28074 ÷ 65536     		y = 0.428375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428375244140625 × 2 - 1) × π
    0.14324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450031613633087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450031613633087))-π/2
    2×atan(1.56836176631988)-π/2
    2×1.00318191842682-π/2
    2.00636383685364-1.57079632675     		φ = 0.43556751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43556751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.956180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30302 KachelY 28074 -0.23642479 0.43556751 -13.546143 24.956180
    Oben rechts KachelX + 1 30303 KachelY 28074 -0.23632892 0.43556751 -13.540650 24.956180
    Unten links KachelX 30302 KachelY + 1 28075 -0.23642479 0.43548059 -13.546143 24.951200
    Unten rechts KachelX + 1 30303 KachelY + 1 28075 -0.23632892 0.43548059 -13.540650 24.951200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43556751-0.43548059) × R
    8.69199999999903e-05 × 6371000     		dl = 553.767319999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43556751-0.43548059) × R
    8.69199999999903e-05 × 6371000     		dr = 553.767319999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23632892) × cos(0.43556751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906630741658569 × 6371000     		do = 553.758968911072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23632892) × cos(0.43548059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90666741195393 × 6371000     		du = 553.781366679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43556751)-sin(0.43548059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906630741658569-0.90666741195393)×R²
    abs(-0.23632892--0.23642479)×3.66702953603637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66702953603637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66702953603637e-05×40589641000000     		ar = 306659.821908706m²