Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30302 / 13412
↖ ↑ ↗
← N 72.228808°
W 13.546143°		 ← 186.42 m → N 72.228808°
W 13.540650°		 →
↑
186.42 m
↓
↑
186.42 m
↓
N 72.227132°
W 13.546143°		 ← 186.44 m →
34 754 m²		 N 72.227132°
W 13.540650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462379455566406 y=0.204658508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462379455566406 × 216)
    floor (0.462379455566406 × 65536)
    floor (30302.5)     		tx = 30302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204658508300781 × 216)
    floor (0.204658508300781 × 65536)
    floor (13412.5)     		ty = 13412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30302 / 13412 ti = "16/30302/13412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30302/13412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30302 ÷ 216
    30302 ÷ 65536     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13412 ÷ 216
    13412 ÷ 65536     		y = 0.20465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20465087890625 × 2 - 1) × π
    0.5906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85573325809161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85573325809161))-π/2
    2×atan(6.39638673380637)-π/2
    2×1.41571342522801-π/2
    2.83142685045601-1.57079632675     		φ = 1.26063052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26063052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.228808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30302 KachelY 13412 -0.23642479 1.26063052 -13.546143 72.228808
    Oben rechts KachelX + 1 30303 KachelY 13412 -0.23632892 1.26063052 -13.540650 72.228808
    Unten links KachelX 30302 KachelY + 1 13413 -0.23642479 1.26060126 -13.546143 72.227132
    Unten rechts KachelX + 1 30303 KachelY + 1 13413 -0.23632892 1.26060126 -13.540650 72.227132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26063052-1.26060126) × R
    2.92600000000309e-05 × 6371000     		dl = 186.415460000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26063052-1.26060126) × R
    2.92600000000309e-05 × 6371000     		dr = 186.415460000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23632892) × cos(1.26063052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305216535626295 × 6371000     		do = 186.422527162306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23632892) × cos(1.26060126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305244399295514 × 6371000     		du = 186.439545950692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26063052)-sin(1.26060126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305216535626295-0.305244399295514)×R²
    abs(-0.23632892--0.23642479)×2.78636692185863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78636692185863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78636692185863e-05×40589641000000     		ar = 34753.6274404387m²