Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30301 / 13413
↖ ↑ ↗
← N 72.227132°
W 13.551636°		 ← 186.44 m → N 72.227132°
W 13.546143°		 →
↑
186.48 m
↓
↑
186.48 m
↓
N 72.225455°
W 13.551636°		 ← 186.46 m →
34 769 m²		 N 72.225455°
W 13.546143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462364196777344 y=0.204673767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462364196777344 × 216)
    floor (0.462364196777344 × 65536)
    floor (30301.5)     		tx = 30301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204673767089844 × 216)
    floor (0.204673767089844 × 65536)
    floor (13413.5)     		ty = 13413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30301 / 13413 ti = "16/30301/13413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30301/13413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30301 ÷ 216
    30301 ÷ 65536     		x = 0.462356567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13413 ÷ 216
    13413 ÷ 65536     		y = 0.204666137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462356567382812 × 2 - 1) × π
    -0.075286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23652066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204666137695312 × 2 - 1) × π
    0.590667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85563738429237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23652066} λ = -0.23652066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85563738429237))-π/2
    2×atan(6.39577351730496)-π/2
    2×1.41569879342582-π/2
    2.83139758685164-1.57079632675     		φ = 1.26060126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23652066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.551636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26060126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.227132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30301 KachelY 13413 -0.23652066 1.26060126 -13.551636 72.227132
    Oben rechts KachelX + 1 30302 KachelY 13413 -0.23642479 1.26060126 -13.546143 72.227132
    Unten links KachelX 30301 KachelY + 1 13414 -0.23652066 1.26057199 -13.551636 72.225455
    Unten rechts KachelX + 1 30302 KachelY + 1 13414 -0.23642479 1.26057199 -13.546143 72.225455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26060126-1.26057199) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dl = 186.47916999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26060126-1.26057199) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dr = 186.47916999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23652066--0.23642479) × cos(1.26060126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305244399295514 × 6371000     		do = 186.439545950692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23652066--0.23642479) × cos(1.26057199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305272272226049 × 6371000     		du = 186.456570395778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26060126)-sin(1.26057199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305244399295514-0.305272272226049)×R²
    abs(-0.23642479--0.23652066)×2.78729305354108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78729305354108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78729305354108e-05×40589641000000     		ar = 34768.6791386971m²