Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30300 / 16665
↖ ↑ ↗
← N 65.890436°
W 13.557129°		 ← 249.52 m → N 65.890436°
W 13.551636°		 →
↑
249.49 m
↓
↑
249.49 m
↓
N 65.888193°
W 13.557129°		 ← 249.54 m →
62 256 m²		 N 65.888193°
W 13.551636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462348937988281 y=0.254295349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462348937988281 × 216)
    floor (0.462348937988281 × 65536)
    floor (30300.5)     		tx = 30300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254295349121094 × 216)
    floor (0.254295349121094 × 65536)
    floor (16665.5)     		ty = 16665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30300 / 16665 ti = "16/30300/16665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30300/16665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30300 ÷ 216
    30300 ÷ 65536     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16665 ÷ 216
    16665 ÷ 65536     		y = 0.254287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254287719726562 × 2 - 1) × π
    0.491424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54385578916353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54385578916353))-π/2
    2×atan(4.68261066670464)-π/2
    2×1.36040069485405-π/2
    2.72080138970809-1.57079632675     		φ = 1.15000506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15000506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.890436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30300 KachelY 16665 -0.23661654 1.15000506 -13.557129 65.890436
    Oben rechts KachelX + 1 30301 KachelY 16665 -0.23652066 1.15000506 -13.551636 65.890436
    Unten links KachelX 30300 KachelY + 1 16666 -0.23661654 1.14996590 -13.557129 65.888193
    Unten rechts KachelX + 1 30301 KachelY + 1 16666 -0.23652066 1.14996590 -13.551636 65.888193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15000506-1.14996590) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dl = 249.488360000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15000506-1.14996590) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dr = 249.488360000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23652066) × cos(1.15000506) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.40848282229339 × 6371000     		do = 249.522336552475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23652066) × cos(1.14996590) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.408518565897018 × 6371000     		du = 249.544170585652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15000506)-sin(1.14996590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40848282229339-0.408518565897018)×R²
    abs(-0.23652066--0.23661654)×3.57436036272918e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.57436036272918e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.57436036272918e-05×40589641000000     		ar = 62255.6422062774m²