Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30299 / 27984
↖ ↑ ↗
← N 25.403585°
W 13.562622°		 ← 551.73 m → N 25.403585°
W 13.557129°		 →
↑
551.79 m
↓
↑
551.79 m
↓
N 25.398623°
W 13.562622°		 ← 551.75 m →
304 446 m²		 N 25.398623°
W 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462333679199219 y=0.427009582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462333679199219 × 216)
    floor (0.462333679199219 × 65536)
    floor (30299.5)     		tx = 30299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427009582519531 × 216)
    floor (0.427009582519531 × 65536)
    floor (27984.5)     		ty = 27984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30299 / 27984 ti = "16/30299/27984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30299/27984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30299 ÷ 216
    30299 ÷ 65536     		x = 0.462326049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27984 ÷ 216
    27984 ÷ 65536     		y = 0.427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462326049804688 × 2 - 1) × π
    -0.075347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23671241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427001953125 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.458660255564697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23671241} λ = -0.23671241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458660255564697))-π/2
    2×atan(1.58195315169251)-π/2
    2×1.00708626318766-π/2
    2.01417252637532-1.57079632675     		φ = 0.44337620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23671241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44337620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.403585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30299 KachelY 27984 -0.23671241 0.44337620 -13.562622 25.403585
    Oben rechts KachelX + 1 30300 KachelY 27984 -0.23661654 0.44337620 -13.557129 25.403585
    Unten links KachelX 30299 KachelY + 1 27985 -0.23671241 0.44328959 -13.562622 25.398623
    Unten rechts KachelX + 1 30300 KachelY + 1 27985 -0.23661654 0.44328959 -13.557129 25.398623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44337620-0.44328959) × R
    8.6609999999987e-05 × 6371000     		dl = 551.792309999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44337620-0.44328959) × R
    8.6609999999987e-05 × 6371000     		dr = 551.792309999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23671241--0.23661654) × cos(0.44337620) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.903308452626554 × 6371000     		do = 551.729755402071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23671241--0.23661654) × cos(0.44328959) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.903345604205692 × 6371000     		du = 551.752447132245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44337620)-sin(0.44328959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903308452626554-0.903345604205692)×R²
    abs(-0.23661654--0.23671241)×3.71515791375288e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.71515791375288e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.71515791375288e-05×40589641000000     		ar = 304446.49698048m²