Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30298 / 13433
↖ ↑ ↗
← N 72.193566°
W 13.568115°		 ← 186.78 m → N 72.193566°
W 13.562622°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
N 72.191886°
W 13.568115°		 ← 186.80 m →
34 892 m²		 N 72.191886°
W 13.562622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462318420410156 y=0.204978942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462318420410156 × 216)
    floor (0.462318420410156 × 65536)
    floor (30298.5)     		tx = 30298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204978942871094 × 216)
    floor (0.204978942871094 × 65536)
    floor (13433.5)     		ty = 13433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30298 / 13433 ti = "16/30298/13433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30298/13433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30298 ÷ 216
    30298 ÷ 65536     		x = 0.462310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13433 ÷ 216
    13433 ÷ 65536     		y = 0.204971313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.07537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23680828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204971313476562 × 2 - 1) × π
    0.590057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85371990830757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23680828} λ = -0.23680828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85371990830757))-π/2
    2×atan(6.38352152538535)-π/2
    2×1.41540587669392-π/2
    2.83081175338783-1.57079632675     		φ = 1.26001543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23680828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26001543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.193566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30298 KachelY 13433 -0.23680828 1.26001543 -13.568115 72.193566
    Oben rechts KachelX + 1 30299 KachelY 13433 -0.23671241 1.26001543 -13.562622 72.193566
    Unten links KachelX 30298 KachelY + 1 13434 -0.23680828 1.25998611 -13.568115 72.191886
    Unten rechts KachelX + 1 30299 KachelY + 1 13434 -0.23671241 1.25998611 -13.562622 72.191886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26001543-1.25998611) × R
    2.93199999998883e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26001543-1.25998611) × R
    2.93199999998883e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23680828--0.23671241) × cos(1.26001543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305802217587914 × 6371000     		do = 186.780254541573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23680828--0.23671241) × cos(1.25998611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305830132883633 × 6371000     		du = 186.797304862794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26001543)-sin(1.25998611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305802217587914-0.305830132883633)×R²
    abs(-0.23671241--0.23680828)×2.79152957185502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79152957185502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79152957185502e-05×40589641000000     		ar = 34891.7181722461m²