Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30297 / 41721
↖ ↑ ↗
← S 44.059959°
W 13.573609°		 ← 438.97 m → S 44.059959°
W 13.568115°		 →
↑
438.90 m
↓
↑
438.90 m
↓
S 44.063907°
W 13.573609°		 ← 438.94 m →
192 655 m²		 S 44.063907°
W 13.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462303161621094 y=0.636619567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462303161621094 × 216)
    floor (0.462303161621094 × 65536)
    floor (30297.5)     		tx = 30297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636619567871094 × 216)
    floor (0.636619567871094 × 65536)
    floor (41721.5)     		ty = 41721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30297 / 41721 ti = "16/30297/41721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30297/41721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30297 ÷ 216
    30297 ÷ 65536     		x = 0.462295532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41721 ÷ 216
    41721 ÷ 65536     		y = 0.636611938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462295532226562 × 2 - 1) × π
    -0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636611938476562 × 2 - 1) × π
    -0.273223876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.858358124596725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23690416} λ = -0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858358124596725))-π/2
    2×atan(0.423857432415208)-π/2
    2×0.400902484510464-π/2
    0.801804969020928-1.57079632675     		φ = -0.76899136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76899136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.059959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30297 KachelY 41721 -0.23690416 -0.76899136 -13.573609 -44.059959
    Oben rechts KachelX + 1 30298 KachelY 41721 -0.23680828 -0.76899136 -13.568115 -44.059959
    Unten links KachelX 30297 KachelY + 1 41722 -0.23690416 -0.76906025 -13.573609 -44.063907
    Unten rechts KachelX + 1 30298 KachelY + 1 41722 -0.23680828 -0.76906025 -13.568115 -44.063907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76899136--0.76906025) × R
    6.88899999999881e-05 × 6371000     		dl = 438.898189999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76899136--0.76906025) × R
    6.88899999999881e-05 × 6371000     		dr = 438.898189999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23690416--0.23680828) × cos(-0.76899136) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.718612454154129 × 6371000     		do = 438.965481166448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23690416--0.23680828) × cos(-0.76906025) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.71856454560093 × 6371000     		du = 438.936216155822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76899136)-sin(-0.76906025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718612454154129-0.71856454560093)×R²
    abs(-0.23680828--0.23690416)×4.79085531988055e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79085531988055e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79085531988055e-05×40589641000000     		ar = 192654.733052493m²