Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30297 / 20603
↖ ↑ ↗
← N 55.394712°
W 13.573609°		 ← 346.91 m → N 55.394712°
W 13.568115°		 →
↑
346.90 m
↓
↑
346.90 m
↓
N 55.391592°
W 13.573609°		 ← 346.94 m →
120 350 m²		 N 55.391592°
W 13.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462303161621094 y=0.314384460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462303161621094 × 216)
    floor (0.462303161621094 × 65536)
    floor (30297.5)     		tx = 30297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314384460449219 × 216)
    floor (0.314384460449219 × 65536)
    floor (20603.5)     		ty = 20603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30297 / 20603 ti = "16/30297/20603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30297/20603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30297 ÷ 216
    30297 ÷ 65536     		x = 0.462295532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20603 ÷ 216
    20603 ÷ 65536     		y = 0.314376831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462295532226562 × 2 - 1) × π
    -0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314376831054688 × 2 - 1) × π
    0.371246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16630476775597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23690416} λ = -0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16630476775597))-π/2
    2×atan(3.21010859810803)-π/2
    2×1.26880821886719-π/2
    2.53761643773438-1.57079632675     		φ = 0.96682011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96682011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.394712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30297 KachelY 20603 -0.23690416 0.96682011 -13.573609 55.394712
    Oben rechts KachelX + 1 30298 KachelY 20603 -0.23680828 0.96682011 -13.568115 55.394712
    Unten links KachelX 30297 KachelY + 1 20604 -0.23690416 0.96676566 -13.573609 55.391592
    Unten rechts KachelX + 1 30298 KachelY + 1 20604 -0.23680828 0.96676566 -13.568115 55.391592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96682011-0.96676566) × R
    5.44500000000392e-05 × 6371000     		dl = 346.90095000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96682011-0.96676566) × R
    5.44500000000392e-05 × 6371000     		dr = 346.90095000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23690416--0.23680828) × cos(0.96682011) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567919714503426 × 6371000     		do = 346.914598125569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23690416--0.23680828) × cos(0.96676566) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567964530582899 × 6371000     		du = 346.941974094042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96682011)-sin(0.96676566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567919714503426-0.567964530582899)×R²
    abs(-0.23680828--0.23690416)×4.48160794725982e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48160794725982e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48160794725982e-05×40589641000000     		ar = 120349.752063489m²