Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30296 / 28088
↖ ↑ ↗
← N 24.886437°
W 13.579101°		 ← 554.07 m → N 24.886437°
W 13.573609°		 →
↑
554.15 m
↓
↑
554.15 m
↓
N 24.881453°
W 13.579101°		 ← 554.09 m →
307 045 m²		 N 24.881453°
W 13.573609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462287902832031 y=0.428596496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462287902832031 × 216)
    floor (0.462287902832031 × 65536)
    floor (30296.5)     		tx = 30296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428596496582031 × 216)
    floor (0.428596496582031 × 65536)
    floor (28088.5)     		ty = 28088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30296 / 28088 ti = "16/30296/28088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30296/28088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30296 ÷ 216
    30296 ÷ 65536     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28088 ÷ 216
    28088 ÷ 65536     		y = 0.4285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    0.142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.448689380443726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448689380443726))-π/2
    2×atan(1.56625807124471)-π/2
    2×1.00257329131799-π/2
    2.00514658263597-1.57079632675     		φ = 0.43435026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43435026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.886437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30296 KachelY 28088 -0.23700003 0.43435026 -13.579101 24.886437
    Oben rechts KachelX + 1 30297 KachelY 28088 -0.23690416 0.43435026 -13.573609 24.886437
    Unten links KachelX 30296 KachelY + 1 28089 -0.23700003 0.43426328 -13.579101 24.881453
    Unten rechts KachelX + 1 30297 KachelY + 1 28089 -0.23690416 0.43426328 -13.573609 24.881453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43435026-0.43426328) × R
    8.69800000000143e-05 × 6371000     		dl = 554.149580000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43435026-0.43426328) × R
    8.69800000000143e-05 × 6371000     		dr = 554.149580000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23690416) × cos(0.43435026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907143658051196 × 6371000     		do = 554.072251970721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23690416) × cos(0.43426328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907180257637418 × 6371000     		du = 554.094606550372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43435026)-sin(0.43426328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907143658051196-0.907180257637418)×R²
    abs(-0.23690416--0.23700003)×3.65995862214863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65995862214863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65995862214863e-05×40589641000000     		ar = 307045.099803398m²