Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30295 / 41371
↖ ↑ ↗
← S 42.662241°
W 13.584595°		 ← 449.20 m → S 42.662241°
W 13.579101°		 →
↑
449.16 m
↓
↑
449.16 m
↓
S 42.666281°
W 13.584595°		 ← 449.17 m →
201 753 m²		 S 42.666281°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462272644042969 y=0.631278991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462272644042969 × 216)
    floor (0.462272644042969 × 65536)
    floor (30295.5)     		tx = 30295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631278991699219 × 216)
    floor (0.631278991699219 × 65536)
    floor (41371.5)     		ty = 41371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30295 / 41371 ti = "16/30295/41371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30295/41371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30295 ÷ 216
    30295 ÷ 65536     		x = 0.462265014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41371 ÷ 216
    41371 ÷ 65536     		y = 0.631271362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462265014648438 × 2 - 1) × π
    -0.075469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23709591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631271362304688 × 2 - 1) × π
    -0.262542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.824802294862686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23709591} λ = -0.23709591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824802294862686))-π/2
    2×atan(0.438321642339591)-π/2
    2×0.41309987425738-π/2
    0.826199748514761-1.57079632675     		φ = -0.74459658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23709591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74459658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.662241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30295 KachelY 41371 -0.23709591 -0.74459658 -13.584595 -42.662241
    Oben rechts KachelX + 1 30296 KachelY 41371 -0.23700003 -0.74459658 -13.579101 -42.662241
    Unten links KachelX 30295 KachelY + 1 41372 -0.23709591 -0.74466708 -13.584595 -42.666281
    Unten rechts KachelX + 1 30296 KachelY + 1 41372 -0.23700003 -0.74466708 -13.579101 -42.666281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74459658--0.74466708) × R
    7.05000000000844e-05 × 6371000     		dl = 449.155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74459658--0.74466708) × R
    7.05000000000844e-05 × 6371000     		dr = 449.155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23709591--0.23700003) × cos(-0.74459658) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.735361349944766 × 6371000     		do = 449.196568948524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23709591--0.23700003) × cos(-0.74466708) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.735313572015308 × 6371000     		du = 449.167383729603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74459658)-sin(-0.74466708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735361349944766-0.735313572015308)×R²
    abs(-0.23700003--0.23709591)×4.77779294577596e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77779294577596e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77779294577596e-05×40589641000000     		ar = 201752.555257452m²