Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30295 / 20287
↖ ↑ ↗
← N 56.368293°
W 13.584595°		 ← 338.32 m → N 56.368293°
W 13.579101°		 →
↑
338.30 m
↓
↑
338.30 m
↓
N 56.365250°
W 13.584595°		 ← 338.35 m →
114 459 m²		 N 56.365250°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462272644042969 y=0.309562683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462272644042969 × 216)
    floor (0.462272644042969 × 65536)
    floor (30295.5)     		tx = 30295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309562683105469 × 216)
    floor (0.309562683105469 × 65536)
    floor (20287.5)     		ty = 20287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30295 / 20287 ti = "16/30295/20287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30295/20287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30295 ÷ 216
    30295 ÷ 65536     		x = 0.462265014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20287 ÷ 216
    20287 ÷ 65536     		y = 0.309555053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462265014648438 × 2 - 1) × π
    -0.075469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23709591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309555053710938 × 2 - 1) × π
    0.380889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19660088831584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23709591} λ = -0.23709591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19660088831584))-π/2
    2×atan(3.30885063304768)-π/2
    2×1.27730431371379-π/2
    2.55460862742759-1.57079632675     		φ = 0.98381230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23709591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98381230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.368293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30295 KachelY 20287 -0.23709591 0.98381230 -13.584595 56.368293
    Oben rechts KachelX + 1 30296 KachelY 20287 -0.23700003 0.98381230 -13.579101 56.368293
    Unten links KachelX 30295 KachelY + 1 20288 -0.23709591 0.98375920 -13.584595 56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 30296 KachelY + 1 20288 -0.23700003 0.98375920 -13.579101 56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98381230-0.98375920) × R
    5.31000000000281e-05 × 6371000     		dl = 338.300100000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98381230-0.98375920) × R
    5.31000000000281e-05 × 6371000     		dr = 338.300100000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23709591--0.23700003) × cos(0.98381230) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553852401534598 × 6371000     		do = 338.321559178937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23709591--0.23700003) × cos(0.98375920) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 338.348565575631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98381230)-sin(0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553852401534598-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.23700003--0.23709591)×4.42110686110775e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42110686110775e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42110686110775e-05×40589641000000     		ar = 114458.785462463m²