Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30294 / 20624
↖ ↑ ↗
← N 55.329144°
W 13.590088°		 ← 347.45 m → N 55.329144°
W 13.584595°		 →
↑
347.47 m
↓
↑
347.47 m
↓
N 55.326019°
W 13.590088°		 ← 347.48 m →
120 736 m²		 N 55.326019°
W 13.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462257385253906 y=0.314704895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462257385253906 × 216)
    floor (0.462257385253906 × 65536)
    floor (30294.5)     		tx = 30294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314704895019531 × 216)
    floor (0.314704895019531 × 65536)
    floor (20624.5)     		ty = 20624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30294 / 20624 ti = "16/30294/20624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30294/20624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30294 ÷ 216
    30294 ÷ 65536     		x = 0.462249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20624 ÷ 216
    20624 ÷ 65536     		y = 0.314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.07550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23719178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314697265625 × 2 - 1) × π
    0.37060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16429141797192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23719178} λ = -0.23719178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16429141797192))-π/2
    2×atan(3.20365202850281)-π/2
    2×1.26823603450702-π/2
    2.53647206901404-1.57079632675     		φ = 0.96567574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23719178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96567574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.329144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30294 KachelY 20624 -0.23719178 0.96567574 -13.590088 55.329144
    Oben rechts KachelX + 1 30295 KachelY 20624 -0.23709591 0.96567574 -13.584595 55.329144
    Unten links KachelX 30294 KachelY + 1 20625 -0.23719178 0.96562120 -13.590088 55.326019
    Unten rechts KachelX + 1 30295 KachelY + 1 20625 -0.23709591 0.96562120 -13.584595 55.326019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96567574-0.96562120) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dl = 347.474340000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96567574-0.96562120) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dr = 347.474340000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23719178--0.23709591) × cos(0.96567574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568861255015174 × 6371000     		do = 347.453497390112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23719178--0.23709591) × cos(0.96562120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568906109692524 × 6371000     		du = 347.480894078464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96567574)-sin(0.96562120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568861255015174-0.568906109692524)×R²
    abs(-0.23709591--0.23719178)×4.48546773492708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48546773492708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48546773492708e-05×40589641000000     		ar = 120735.934539415m²