Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30293 / 13393
↖ ↑ ↗
← N 72.260636°
W 13.595581°		 ← 186.10 m → N 72.260636°
W 13.590088°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
N 72.258963°
W 13.595581°		 ← 186.12 m →
34 634 m²		 N 72.258963°
W 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462242126464844 y=0.204368591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462242126464844 × 216)
    floor (0.462242126464844 × 65536)
    floor (30293.5)     		tx = 30293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204368591308594 × 216)
    floor (0.204368591308594 × 65536)
    floor (13393.5)     		ty = 13393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30293 / 13393 ti = "16/30293/13393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30293/13393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30293 ÷ 216
    30293 ÷ 65536     		x = 0.462234497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13393 ÷ 216
    13393 ÷ 65536     		y = 0.204360961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462234497070312 × 2 - 1) × π
    -0.075531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23728765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204360961914062 × 2 - 1) × π
    0.591278076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85755486027718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23728765} λ = -0.23728765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85755486027718))-π/2
    2×atan(6.40804902466277)-π/2
    2×1.41599117579079-π/2
    2.83198235158157-1.57079632675     		φ = 1.26118602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23728765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.595581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26118602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.260636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30293 KachelY 13393 -0.23728765 1.26118602 -13.595581 72.260636
    Oben rechts KachelX + 1 30294 KachelY 13393 -0.23719178 1.26118602 -13.590088 72.260636
    Unten links KachelX 30293 KachelY + 1 13394 -0.23728765 1.26115681 -13.595581 72.258963
    Unten rechts KachelX + 1 30294 KachelY + 1 13394 -0.23719178 1.26115681 -13.590088 72.258963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26118602-1.26115681) × R
    2.92100000001128e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26118602-1.26115681) × R
    2.92100000001128e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23728765--0.23719178) × cos(1.26118602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304687495368437 × 6371000     		do = 186.099395842969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23728765--0.23719178) × cos(1.26115681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304715316372378 × 6371000     		du = 186.116388571925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26118602)-sin(1.26115681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304687495368437-0.304715316372378)×R²
    abs(-0.23719178--0.23728765)×2.78210039405535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78210039405535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78210039405535e-05×40589641000000     		ar = 34634.1036693165m²