Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30292 / 20364
↖ ↑ ↗
← N 56.133307°
W 13.601074°		 ← 340.40 m → N 56.133307°
W 13.595581°		 →
↑
340.40 m
↓
↑
340.40 m
↓
N 56.130246°
W 13.601074°		 ← 340.43 m →
115 879 m²		 N 56.130246°
W 13.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462226867675781 y=0.310737609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462226867675781 × 216)
    floor (0.462226867675781 × 65536)
    floor (30292.5)     		tx = 30292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310737609863281 × 216)
    floor (0.310737609863281 × 65536)
    floor (20364.5)     		ty = 20364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30292 / 20364 ti = "16/30292/20364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30292/20364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30292 ÷ 216
    30292 ÷ 65536     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20364 ÷ 216
    20364 ÷ 65536     		y = 0.31072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31072998046875 × 2 - 1) × π
    0.3785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18921860577435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18921860577435))-π/2
    2×atan(3.28451370435509)-π/2
    2×1.2752536762147-π/2
    2.5505073524294-1.57079632675     		φ = 0.97971103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97971103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.133307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30292 KachelY 20364 -0.23738353 0.97971103 -13.601074 56.133307
    Oben rechts KachelX + 1 30293 KachelY 20364 -0.23728765 0.97971103 -13.595581 56.133307
    Unten links KachelX 30292 KachelY + 1 20365 -0.23738353 0.97965760 -13.601074 56.130246
    Unten rechts KachelX + 1 30293 KachelY + 1 20365 -0.23728765 0.97965760 -13.595581 56.130246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97971103-0.97965760) × R
    5.3430000000021e-05 × 6371000     		dl = 340.402530000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97971103-0.97965760) × R
    5.3430000000021e-05 × 6371000     		dr = 340.402530000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23728765) × cos(0.97971103) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.557262512331318 × 6371000     		do = 340.404630406176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23728765) × cos(0.97965760) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.55730687640828 × 6371000     		du = 340.431730268247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97971103)-sin(0.97965760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557262512331318-0.55730687640828)×R²
    abs(-0.23728765--0.23738353)×4.43640769622888e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.43640769622888e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.43640769622888e-05×40589641000000     		ar = 115879.209872537m²