Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30292 / 17214
↖ ↑ ↗
← N 64.628585°
W 13.601074°		 ← 261.74 m → N 64.628585°
W 13.595581°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
N 64.626231°
W 13.601074°		 ← 261.76 m →
68 506 m²		 N 64.626231°
W 13.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462226867675781 y=0.262672424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462226867675781 × 216)
    floor (0.462226867675781 × 65536)
    floor (30292.5)     		tx = 30292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262672424316406 × 216)
    floor (0.262672424316406 × 65536)
    floor (17214.5)     		ty = 17214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30292 / 17214 ti = "16/30292/17214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30292/17214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30292 ÷ 216
    30292 ÷ 65536     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17214 ÷ 216
    17214 ÷ 65536     		y = 0.262664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262664794921875 × 2 - 1) × π
    0.47467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49122107338071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49122107338071))-π/2
    2×atan(4.44251684747591)-π/2
    2×1.34938896366485-π/2
    2.69877792732969-1.57079632675     		φ = 1.12798160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12798160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.628585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30292 KachelY 17214 -0.23738353 1.12798160 -13.601074 64.628585
    Oben rechts KachelX + 1 30293 KachelY 17214 -0.23728765 1.12798160 -13.595581 64.628585
    Unten links KachelX 30292 KachelY + 1 17215 -0.23738353 1.12794052 -13.601074 64.626231
    Unten rechts KachelX + 1 30293 KachelY + 1 17215 -0.23728765 1.12794052 -13.595581 64.626231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12798160-1.12794052) × R
    4.10800000001377e-05 × 6371000     		dl = 261.720680000877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12798160-1.12794052) × R
    4.10800000001377e-05 × 6371000     		dr = 261.720680000877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23728765) × cos(1.12798160) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.428484403161101 × 6371000     		do = 261.740331827931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23728765) × cos(1.12794052) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.428521520599756 × 6371000     		du = 261.763005070267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12798160)-sin(1.12794052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428484403161101-0.428521520599756)×R²
    abs(-0.23728765--0.23738353)×3.71174386553652e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.71174386553652e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.71174386553652e-05×40589641000000     		ar = 68505.8246676722m²