Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30292 / 17172
↖ ↑ ↗
← N 64.727262°
W 13.601074°		 ← 260.79 m → N 64.727262°
W 13.595581°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
N 64.724917°
W 13.601074°		 ← 260.81 m →
68 008 m²		 N 64.724917°
W 13.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462226867675781 y=0.262031555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462226867675781 × 216)
    floor (0.462226867675781 × 65536)
    floor (30292.5)     		tx = 30292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262031555175781 × 216)
    floor (0.262031555175781 × 65536)
    floor (17172.5)     		ty = 17172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30292 / 17172 ti = "16/30292/17172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30292/17172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30292 ÷ 216
    30292 ÷ 65536     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17172 ÷ 216
    17172 ÷ 65536     		y = 0.26202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26202392578125 × 2 - 1) × π
    0.4759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49524777294879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49524777294879))-π/2
    2×atan(4.46044159270902)-π/2
    2×1.35025008475017-π/2
    2.70050016950033-1.57079632675     		φ = 1.12970384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12970384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.727262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30292 KachelY 17172 -0.23738353 1.12970384 -13.601074 64.727262
    Oben rechts KachelX + 1 30293 KachelY 17172 -0.23728765 1.12970384 -13.595581 64.727262
    Unten links KachelX 30292 KachelY + 1 17173 -0.23738353 1.12966291 -13.601074 64.724917
    Unten rechts KachelX + 1 30293 KachelY + 1 17173 -0.23728765 1.12966291 -13.595581 64.724917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12970384-1.12966291) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dl = 260.765029999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12970384-1.12966291) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dr = 260.765029999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23728765) × cos(1.12970384) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.426927639928923 × 6371000     		do = 260.789380703545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23728765) × cos(1.12966291) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.426964651988695 × 6371000     		du = 260.811989575035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12970384)-sin(1.12966291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426927639928923-0.426964651988695)×R²
    abs(-0.23728765--0.23738353)×3.70120597719681e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.70120597719681e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.70120597719681e-05×40589641000000     		ar = 68007.6984934647m²