Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30291 / 20620
↖ ↑ ↗
← N 55.341642°
W 13.606567°		 ← 347.34 m → N 55.341642°
W 13.601074°		 →
↑
347.35 m
↓
↑
347.35 m
↓
N 55.338518°
W 13.606567°		 ← 347.37 m →
120 654 m²		 N 55.338518°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462211608886719 y=0.314643859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462211608886719 × 216)
    floor (0.462211608886719 × 65536)
    floor (30291.5)     		tx = 30291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314643859863281 × 216)
    floor (0.314643859863281 × 65536)
    floor (20620.5)     		ty = 20620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30291 / 20620 ti = "16/30291/20620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30291/20620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30291 ÷ 216
    30291 ÷ 65536     		x = 0.462203979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20620 ÷ 216
    20620 ÷ 65536     		y = 0.31463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462203979492188 × 2 - 1) × π
    -0.075592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23747940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31463623046875 × 2 - 1) × π
    0.3707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16467491316888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23747940} λ = -0.23747940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16467491316888))-π/2
    2×atan(3.20488084927684)-π/2
    2×1.26834509508561-π/2
    2.53669019017121-1.57079632675     		φ = 0.96589386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23747940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.606567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96589386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.341642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30291 KachelY 20620 -0.23747940 0.96589386 -13.606567 55.341642
    Oben rechts KachelX + 1 30292 KachelY 20620 -0.23738353 0.96589386 -13.601074 55.341642
    Unten links KachelX 30291 KachelY + 1 20621 -0.23747940 0.96583934 -13.606567 55.338518
    Unten rechts KachelX + 1 30292 KachelY + 1 20621 -0.23738353 0.96583934 -13.601074 55.338518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96589386-0.96583934) × R
    5.45199999999468e-05 × 6371000     		dl = 347.346919999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96589386-0.96583934) × R
    5.45199999999468e-05 × 6371000     		dr = 347.346919999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23747940--0.23738353) × cos(0.96589386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568681852288002 × 6371000     		do = 347.343920398451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23747940--0.23738353) × cos(0.96583934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568726697281344 × 6371000     		du = 347.37131117193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96589386)-sin(0.96583934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568681852288002-0.568726697281344)×R²
    abs(-0.23738353--0.23747940)×4.48449933420081e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48449933420081e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48449933420081e-05×40589641000000     		ar = 120653.598011397m²